結城浩のレビュー一覧

数学ガールの秘密ノート／確率の冒険

結城浩

　数学ガールの秘密ノート場合の数の本と並行して読み進めて、確率の冒険も読み終わりました。コインを投げて表・裏のどちらが出るか？というシンプルな試行についてよくよく考えると確率の難しさと面白さがわかってきます。あまり深く考えずにいるときの確率と、「全体は何か」をしっかり把握した状態での確率は全く違うものであるかのようです。

　条件付き確率を説明した章において全体（全事象）が何かをしっかり把握することの大事さを知った上で、終章で「未完のゲーム」に挑みます。

Ａさん、Ｂさんがコインを繰り返し投げて表が出たらＡさんに1点、裏が出たらＢさんに1点が入ります。先に3点先取したほうが勝ちというルールにおいて、Ａさんが1点、Ｂさんが1点を取得した段階でゲームを中断しました。このとき3点先取したときに得られる報酬があった場合、どのように分け合えばよいと考えられるでしょうか？

（これと似た問題をギャンブラーだったシュヴァリエ・ド・メレが考えたとされており、パスカルに相談したそうです。さらにパスカルはフェルマーに相談したともいわれ、確率の考え方が必要であるという進展につながっていったという経緯があるそうです。）

このシンプルな問いから、確率の奥深い世界にいざなわれます。日常生きている分には、1点ずつ取得しているのだから、報酬は半分ずつでよいだろうと結論づけることになると思います。しかし、これが例えばＡさんが2点取得、Ｂさんが1点取得している場合はどう考えたらよいでしょうか？報酬を2:1でわけることは公平でしょうか？
あるいはＡさんが100点先取、Ｂさんが80点先取で勝ちというルールだった場合はどうでしょうか？様々なルールや状況に応じて何が公平なのか示すことはとても難しくなっていきます。

ここでは少ない回数（2回先取で勝ち、3回先取で勝ち）から試行して、見出すことのできるパターンから一般的なルールを見つけ出します。漸化式を使った考え方でn回試行したときのAさん、Bさんが勝つ確率を見出していくのです。その中で「あと何回表が出たらＡさんが勝つか（逆にあと何回裏が出たらBさんが勝つか）」を関数で表していくことになりますが、漸化式を適用するなかで「あと-1回表が出たらＡさんが勝つ」といった現実的には起こりえない計算式も導かれてしまいます。ここでミルカさん、僕、テトラちゃんは「Ａさんが勝ってもコインを投げ続けること」を「あと-1回表が出たらＡさんが勝つ」ことと同義であることを見事に見出し、式を拡張して漸化式を完成させます。

この物語の面白いところはコインを投げるという現実の試行と数式の導出という論理的な世界における思考をいったりきたりするところにあります。数式は突然導き出せるものではなく、現実世界の試行の結果見出せるものであり、逆に現実世界での限りない回数の試行は論理的な世界における思考や数式によって表現することができるのです。

数学ガールの秘密ノート／場合の数

結城浩

　場合の数の難しさは今、求めようとする場合の数がどういう条件下において求める必要があるのか、どういう制限が隠れているのか、洗い出すことの困難さにあると思います。今回の数学ガールではテトラちゃんが数人集まった人達が、握手をするときに何パターンあるのかという不思議な問題について考えていた時に、単に握手するという条件だけではなく、そこにいる人達が交差しながら握手してはいけないという条件下で求めるような問題設定になっていた。3,4人のケースでこれを洗い出す分にはそれほど難しくはないが、6,7人となっていったときにとたんに複雑さが増してしまう。

テトラちゃんと僕は、この交差してはいけないという条件下において、Aさんを軸として考えた場合に、Aさん以外の人たちがどのように握手するパターンがあるかを考えた。その際例えば全体で6人がいた場合に、AさんがBさんと握手すると、残りはC,D,E,Fさん4人による握手パターンを考えればよいのことになるが、これは1人、2人、3人、4人、、、と順に考えてきた場合における、4人の握手パターンをそのまま答えとして適用してよいということです。場合の数においてはこの繰り返しの構造というか、小さいものの答えから大きいものの答えを導き出すような考え方が多く出てくる。式においては漸化式がその考え方に基づいている。

ここでは式が重要なのではなく具体的な問題を考えるときに、たくさんの人がいる場合の握手パターンという事象を正しくとらえることができるかどうかは、人数が少し少ないときのパータンを応用していけるかどうか、部分集合をしっかりと定義しながら答えを算出していけることに気づき、抜け漏れなく整理していけるかどうかにかかっています。なかなか自分だけではこの整理ができないわけですが、数学ガールのような本の考え方に慣れていくと、その考え方に気が付くことができるのだと思います。

数学ガールの秘密ノート／やさしい統計

結城浩

　平均、偏差値という言葉について、日本人の多くはその数値が持つ意味を理解していると思います。特に平均についてはその意味は正確に理解しているはずです。一方偏差値については教育の現場で使われていたし、自分のテストに対して「国語のテストの偏差値は60でした。数学のテストの偏差値は65でした。」といったようにスコアリングされていたので馴染みがあるものだと思います。
　
　しかし偏差値がどのように算出されるか？については数学を基礎から学んだ人しか説明できないでしょう。

　（偏差値）
　偏差値＝50+10×(Xk -μ)/σ
　ただし、平均点=μ, 標準偏差=σ, Xkは本人のテストの点数
　例えば 平均=60、標準偏差＝5、Xk＝70とすると、
　偏差値＝50+10(70-60)/5 = 70
　となります。

　ここで標準偏差=σ（シグマ）という耳慣れない用語があります。これはどのように求められるかというと、
　（標準偏差）
　σ=√V
　ただし、Vは分散。分散の平方根（√）のうち負でないほうを標準偏差とする。

　ここでまた分散=Vという用語が新たに出てきてしまいました。

　（分散）
　V = ((X1-μ)^2 + (X2-μ)^2 + … +(Xn-μ)^2) / n
　ただし、平均点=μ, X1,X2,,,はそれぞれの生徒のテストの点数、nはテストをうけた生徒の総数
　
　分散の意味はそれぞれの生徒のテストの点数が平均とどれだけ乖離しているかをプラス、マイナス両方について考慮できるように各々の差の2乗をとって計算したものであり、今回行われたテストは平均値と比較してどれだけ乖離が大きいか、データの散らばりが大きいかを平均的に表したものになります。
乖離の状況は各々の乖離の状況について2乗した形となっているため、その平方根をとった値が実質的な乖離状況を表しておりそれを「標準偏差」としています。用語が表す意味としては「全部のデータを見たときに、標準（平均点）と比べてどのような偏りの状況にあるか？」と理解するとよいと思います。

　さて偏差値の定義に戻ってその値がとる意味について考えてみると、
　偏差値＝50+10×(Xk -μ)/σ　という式で表されますから、
　自分のテストの点数Xkが平均から離れていればいるほど、50という偏差値の中央値から乖離します。また分散が小さければ小さいほど自分のテストの点数は50という偏差値の中央値から乖離します。
　他の生徒のテストの点数が平均と比べてばらつきがないほうが自分のテストの点数のばらつきが際立って偏差値は50という中央値から外れていくことになります。

　さてこういった統計を考えるにあたって基礎的な用語について計算を通してしっかり理解した上で、コインを何度か投げた時に表、裏が出る確率について考えます。ここでとても面白い考え方が示されます。コインを投げた時に表が出る確率はいくつか？という大変基本的な問題です。コインの裏表に有意な差がなければ、その確率は50%です。しかし、その試行回数が少ないとき（1回）と多いとき（例えば100000回）で違いはあるのでしょうか？違いはありません。しかし期待値を使って導出する式を見ると、また違った意味が現れるのです。ここはぜひこの本を読んでその不思議に触れてほしい部分です。自分は読んでいてぞくぞくしました。

　導出までの説明は省略しますが、
E[Y] = p　
（Yは確率変数、Eは期待値、pはコインの表が出る確率）
V[Y] = p(1-p)/n
（nはコインを投げる回数）
√V[Y] = √p(1-p)/n

さて最後の式は分散の平方根ですから、標準偏差を表しています。nはコインを投げる回数です。分母が大きければ大きいほど標準偏差は小さくなるということが読み取れます。つまりコインを投げる回数が多ければ多いほど標準偏差が小さくなるということです。とても不思議であるとともに、コインを投げる回数が多くなるほどに表、裏が出る回数に偏りが小さくなるというのは経験的にも納得がいくものではないでしょうか。これは「大数の弱法則」と呼ばれるそうです。

　

数学ガール／乱択アルゴリズム

結城浩

数学ガール４作目。難しいことを簡単に説明しようしてくれています。この本では基本的な部分がくわしく説明があります。最終章の「乱択アルゴリズム」の解説や評価までとても、丁寧に説明されており、実際にステップ数を計算しているので、アルゴリズムのオーダーなどについて理解できるでしょう。数式意味していることをイメージしながら理解出来るような書籍です。

Java言語プログラミングレッスン 第3版（上） Java言語を始めよう

結城浩

Javaを基礎から学びたい人向け。書いていくと基礎が覚えられる。巻末付録にAppletの解説があるがブラウザ側のサポートが軒並み終了していて時間の流れを感じた。

数学ガールの秘密ノート／積分を見つめて

結城浩

　前に読んだ数学ガールのニュートン力学の最終章で積分が出てきてわからなくなったため、こちらの数学ガールの秘密ノート積分を見つめて、で積分を先に学ぼうと思い読み始めました。

　自分は高校生のとき微分だけを中途半端に学び、積分は全く学ばなかったので、微分と積分は互いに逆の関係が成り立つ、という程度の知識しかありませんでした。それは間違ってはいないようですが、実際に計算するとなると微分よりも積分のほうがとっつきにくい面があります。この本に出てくるテトラちゃんが躓くところはだいたい自分も躓いていました。

　まず式での表し方として積分ではインテグラル（∫）が登場します。そしてその記号の右側の上下に数字または記号はくっついています。この意味が普通、すっと入ってきません。ある区間の面積を求める際に「下の記号がさす範囲から上の記号がさす範囲」ということが丁寧に説明されていて理解することができました。
　また∫の右側の式では式＋dxという形になっており、これは単に「積分する」という意味であることも丁寧に説明されています。Σとの関係（Σも合計を示すものだから）についても説明されていて面白かったです。

　その式によって何を表すのか、場合によっては式の部分部分が何を意味するのかを理解した上で計算をすることは、自分が何をしようとしているかを整理するためにとても大事であると思います。

　今回は円の面積は無限大に分割した扇形の面積の合計であるという考え方に基づいて、円の面積は積分によってπr二乗によって求められることを証明します。
このとき、三角関数（sin, cos, tan)の考え方も利用する必要ありました。自分はそこは復習しました。

　はさみうちという考え方で円の面積を積分の考え方で導く方法は現実世界の考え方に即していてとてもきれいだと感じました。「対象の円を無限台に分割したとしたら」はさみうちにつかった両側の面積はそれぞれはさみうちされた円の面積の大きさに収束する、というとてもきれいな結果を導くことができます。

このとき極限の公式を使います。θを0に限りなく近づける場合、sinθ/θ=1に収束するというものですが、ここは自分もテトラちゃんと同じように0/0（0除算のエラー）になってしまうのでは？と疑問を持ちました。ただ、図形でsinθ、θそれぞれが表すものを考えると、それは1:1に収束するので、全体として1に収束するというように理解できました。

　微分は瞬間瞬間の状態を表すものですが、積分は瞬間瞬間の合計を無限に細かい単位で集めるときに使うもので、自分の日常生活でもなくてはならない考え方です。ある時間の間における移動距離とか、ランダムな形の面積であるとか、さまざまありますがとてもきれいな方法で計算できるということがわかりました。

数学ガールの物理ノート／ニュートン力学

結城浩

数学ガールのニュートン力学という中二心をくすぐる数学と物理の組み合わせにとても期待して読みました。

この本ではユーリと僕が「ボールを投げるとなぜ放物線になるのか」という疑問から、投げたボールは水平方向には等速直線運動、垂直方向には投下速度直線運動をしていることを式で表していく。

ただ、なぜ投げたボールが放物線を描くのかを納得できないユーリに、僕はニュートンの運動方程式を用いてボールの運動を説明することになっていく。ここでは力と加速度の関係を一つの式で表すことができる。
F = ma
というシンプルな式で。（F=力、m=質量、a=加速度）

投げたボールについて水平方向、垂直方向（鉛直下向き方向）に、それぞれかかった力から加速度を、加速度から速度を、速度から位置を時刻で積分することによって求めることができることを知る。

逆に、位置を時刻で微分すると速度を、速度を時刻で微分すると加速度と、加速度を時刻で微分すると力を得ることができる。

力（時刻で積分）→加速度（時刻で積分）→速度（時刻で積分）→位置

力（時刻で微分）←加速度（時刻で微分）←速度（時刻で微分）←位置

さらに質量が大きいと加速度が0に近づいてしまい、質量が大きいものほど落下速度が遅くなってしまうのか？というユーリの疑問を解消するために、ニュートンの万有引力の法則の説明に入っていく。

F = mg
（F=力、m=質量、g=重力加速度）
地球からボールにかかかる重力の大きさはボールの質量に比例する。
このことから、質量が大きいものほど落下速度が遅くなるということはないことがわかる。

一方、テトラと僕の会話では、物理学と数学の境目について話がなされる。物理的な事象を考えているうちに積分の考え方が導入されてしまっていたからだ。

僕は物理的な事象を数式を使って表現する。テトラはニュートンの運動方程式はふたつの世界をつなぐ架け橋のようなものだいうと説明に納得する。

その後、投げ上げたボールが戻ってくる時刻や、投げ上げたボールが戻ってきたときの速度や、投げたボールはどこまで高く上がるか、といったことを計算していく。

次に僕とテトラは力学的エネルギー保存則を使ってこの事象を簡単に表そうと試みる。

力学的エネルギー＝運動エネルギー＋位置エネルギー
1/2mv(2乗）+ mgh

そしてミルカが登場する。ミルカと僕とテトラは力学的エネルギー保存則を、ニュートンの運動方程式と万有引力の法則から数学的に導くことができることを解き明かしていく。

＊この最終章の5章あたりから積分の考え方多様されていて細かく理解できなくなったため、先に積分の学習をもう少ししてからこの本を再読することにしました。

数学ガールの物理ノート／ニュートン力学

結城浩

ニュートン力学の基本から、運動方程式と積分を使った速度や位置の導出、万有引力の法則など、高校で習う力学の基本的な部分を非常に丁寧に説明しています。

特に、力学的エネルギー保存則は、私にとって初めてきちんと理解できたように思っています。

また、登場人物のセリフの中で最も印象的なのは「物理では、数や量より、むしろ関数を扱っているように思った」というテトラの言葉です。
物理では微積分はもちろん、ある量を最小化する関数をたくさんの関数の中から見つけるようなことをします。
これとテトラの言葉がつながっていると感じました。

この本を読める今の中学・高校生がうらやましい！
(数学ガールシリーズを読むと、いつもこう思います)

数学文章作法 推敲編

結城浩

第1章　読者の迷い：一本道の文章の流れを作る
第2章　推敲の基本：読者として読み返す，ずれを探して直す作業を繰り返す
第3章　語句：意味が明確に一つに定まる語句を選ぶ
第4章　文の推敲：文を短く明確にする
第5章　文章全体のバランス：分量と品質のバランスを整える
第6章　レビュー：レビューの流れや注意点
第7章　推敲のコツ：限られた時間で効率的に文章を改善する
第8章　推敲を終えるとき：十分に正確で読みやすい文章ができたら
第9章　推敲のチェックリスト：まとめ

数学文章作法 基礎編

結城浩

具体的な例が多くすぐに読める．

第1章　読者：読者の知識・意欲・目的をよく考える
第2章　基本：形式（構造，語句など）を意識，文を短く
第3章　順序と階層：ここまで読んで読者は何を知っているか（順序），期待通りの場所に書く（階層）
第4章　数式と命題：（第3章までを踏まえて）数式を使った文章の悪い例と正しい例，数式を無くしても文章の構造は正しくなるように
第5章　例：数式の適切な例の作り方
第6章　問いと答え：問いかけに明確に答える
第7章　目次と索引：目次は良い見出しの集まりを作る（形式，順序と階層）
第8章　たったひとつの伝えたいこと：まとめ

数学ガールの物理ノート／ニュートン力学

結城浩

力学の基本を本質から捉えられる本。高校物理で公式自体は多くの人が暗記してそれなりに問題を解くこともできる単元だが、意外ときちんと理解できていない所はあるのではないか。
そういう僕も高校時代は意味をよく理解せずに多くの公式を使っていたが、この本を読めば力学の基礎の部分について理解しているか確認できるし、何より「もっと考えたい！」「深く理解したい！」という気持ちにさせてくれる。
「物理学の世界」と「数学の世界」に運動方程式は橋をかけた。そう考えると感動する。
高校で物理を履修している現役生には超オススメ。
それ以外でも興味のある人は引き込まれると思う。

最後の研究課題について少しずつ考えていきたい。

数学ガールの秘密ノート／学ぶための対話

結城浩

数学や、そもそも勉強自体に苦手意識を持つ子って、ノナちゃんみたいな子がけっこういるのかも。
もちろん色んなパターンの子がいるんだろうけど、一部の子はこういうところで引っかかるのかあ、と非常に参考になった。
それはノナちゃんみたいな子が頭悪いとかではなく、考え方や視点が違ったり、立ち止まって考えることへの慣れ具合が違ったりするだけ。
そういう目で生徒を見て授業をしたり接したりしていかないといけない。
数学や勉強に苦手意識がある人こそ、読んでほしい。間違えてもいい。理解しようと考えよう。

再発見の発想法

結城浩

エンジニアが使う用語の説明から「日常生活に置き換えるとどういうことか」という流れで終わる短い項で構成されている本。スラスラと読めるので、そもそもエンジニアが使う用語の意味を知らなかったり、理解が浅い場合に日常生活でのケースに置き換えて説明されているのでわかりやすい。おすすめ。

再発見の発想法

結城浩

システム開発やソフトウェア開発に関わる用語・考え方を身近な事例に当てはめて考える本。

移動中やリラックスタイムの読み物としてとても良かった。

出てくる用語の意味を元々知っている人にとっても、こういう考え方もできるな、という気づきが1-2個あるのではないかと思う。

再発見の発想法

結城浩

著者のメルマガにたまに添付されている文章で、いつも楽しく読んでおり、書籍版を買ってみた。

私の仕事が情報システムの設計・構築であり、この本でテーマになっている用語は8割方知っていて、仕事の中でも日常的に使う言葉である。

用語の意味は知っていることもあり、「日常生活と○○」(○○はテーマとなる用語)を中心に読んでみた。
コンピュータ関係での考え方が、日常生活でも自然と使われていることを再認識した。
よく考えてみれば、コンピュータは人間が作り上げたものなので、日常的に行っている行動がコンピュータ用語と関連付けられるのは、当然なのかもしれない。

そして、テーマとなる用語そのものについても、よく掘り下げられており、非常に勉強になった。

システム関係の人と仕事をする場合に、この本を手元に置いて、システム屋さんの謎の言葉を調べていくのに使えるかもしれない。
また、システム関係の人も、非専門家に用語を噛み砕いて説明する教科書として、手元に置いておくとよさそうだ。

Java言語プログラミングレッスン 第3版（下） オブジェクト指向を始めよう

結城浩

javaについて何も知らない状態で、とりあえずこの本を読むように大学の教授に勧められて手に取ったが、プログラミングって意外と簡単なのでは？と思わせてくれた一冊。

説明は非常に丁寧で、プログラミング特有の小難しい概念もたとえばなしを用いてうまく説明されている。

数学文章作法 基礎編

結城浩

文章を書くたびに読み直したい本。
形式や、例題、箇条書きなどを見直す時の観点で、迷うことがなくなりそう。

暗号技術入門 第3版 秘密の国のアリス

結城浩

現代コンピュータで使われている暗号技術について網羅的に、また入門としては十分な粒度で知ることができた。
個人的には公開鍵暗号や共通鍵暗号など重要かつ概要は知っているけど詳細がよくわかっていなかった技術について、アルゴリズムレベルで理解できたことはよかった。
解説が非常に丁寧で読みやすいので、した知識や数学的な知見がなくても丁寧に読み解けば理解可能だと思う。
セキュリティ関連で手に取った本の中では絶対的な良書。
本書で繰り返し言われている以下の点についてはシステムを設計運用する上で注意するようにしたい。
・暗号アルゴリズムは隠すのではなく、一般に公開され十分に検証されているものを使うこと
・暗号技術が堅牢であってもシステムを運用する人間の意識一つで、セキュリティは簡単に破られてしまう

数学ガールの秘密ノート／確率の冒険

結城浩

降水確率、宝くじ、そして最近では検査の陽性率などで身近な確率。しかしなんとなくとっつきづらいと感じている人も多いのではないだろうか。そんな人におすすめしたい。「偽陽性」、「偽陰性」についてもよく理解できる。

増補改訂版 Java言語で学ぶデザインパターン入門

結城浩

この本は非常に読む価値のある本の一つです。
私の場合、オブジェクト指向の考え方自体はC++を学習していく過程で理解を深めていました。しかし、デザインパターンについてはSingletonくらいしか知りませんでした。オブジェクト指向を何となくでも知っている・理解している方であれば、読み進められると思います。
丁寧に全パターンが書かれており、体系的に理解できます。UMLも書かれているため、あるパターンがどんなものだったか、振り返るにもちょうどいいです。

（これに限った話ではないですが）AndroidのSDKはSingleton、Builder、Factory、Observerなど、デザインパターンが駆使されています。本書はあくまでもサンプルコードのため、SDKのような実用的なコードをのぞいてみると更に理解が深まるでしょう。

タイトル通りJava言語で書かれていますが、これを知らなくても他のオブジェクト指向言語を理解していれば読めるはずです。