結城浩のレビュー一覧
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「もっと早く読んでいれば…」という思いと「早くに読んでても投げてたろうな」という思いが混ざった感情。
高校生の主人公が二人の「数学ガール」と数学をする青春物語。
数学があまり得意でない人でもちゃんと追えるように丁寧に説明をしてくれている。
そのため、高校数学まで履修していれば数式の変形は問題なく理解できる。
「特に目的はないけどこの式を変形して何か定理を見いだせないか」というお話と「ある命題についての答えを得るために式変形をする」お話の両方があるのが個人的に好き。
こんな感じで心から楽しんで数学をしているのを見ると、ただ学校の授業で受け身になって数学をすることのつまらなさ、勿体なさを痛感する。 -
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ネタバレ第2巻は、フェルマーの最終定理。さすがに、これを説明するには、内容的にもボリューム的にも難しかったか？。雰囲気だけ理解できたような気になって終わってしまった。
しかし、あらためて数学の持つ面白さを体感させてくれる。
原始ピタゴラス数、互いに素、複素平面、余り、群、法、オイラーの公式、自然対数、指数法則。高校時代に漠然と聞いていた用語が、意味を持って繋がる気がする。かといって、人生に役立つわけではないが…。それがいいのかもしれない。
最先端の数学が、時代がくれば学校の教科書に載る、と語る。「負の数」や「複素数」のように。私たちは、まだまだ、新しい数学の世界を傍観するだけだけど。 -
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ネタバレフィボナッチ数列、相加相乗平均、ゼータ関数、テイラー展開とバーゼル問題、数学の世界の入り口かもしれないけど、ページをめくるごとにあっけにとられながら、素敵な世界にはまり込ませてくれる。学生時代に授業で受けた数学って、こんな世界だったのか？、と。そして、不思議な世界でもあると。
本書では意味がありそうな、なさそうな数式が並んでいる。それを解いていくにつれて、数学の世界に引き込まれてゆく。そして、結論にたどり着いたとき、何とも言えない感動を一緒に味わう。
こうして、数学に嵌っていく人が誕生していくんだろうな、と。
そして、気が付く。回答を追うことはできるけど、これを自分で解決することは無理だぁ。
凄い世界だ。
なんども、読み返したくなる一冊です。 -
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〈深い数学の世界へ優しく導く〉
数学が好きな「僕」が二人の少女の問いに答えながら数学を解説してくれる一冊。
元々2007年から結城浩さんによる数学青春物語『数学ガール』シリーズが発行されました。そのシリーズでは「フェルマーの最終定理」「ゲーデルの不完全性定理」など、主に高校数学以上の事柄がテーマとして扱われています。
こちらの『数学ガールの秘密ノート』シリーズは「式とグラフ」「整数で遊ぼう」「丸い三角関数」など、中学生や高校生向けのやさしい数学をテーマに執筆されています。
「式とグラフ」はこのシリーズの1作目です。
テーマに数学を据えていますが、小説のように登場人物の会話で話が展開していきます。
主な登場人物は、数学が好きな高校生の「僕」、同じく数学を趣味とするクラスメイトの女子「ミルカ」、数学に興味を持つ後輩の女子「テトラ」、「僕」の従妹の中学生「ユーリ」です。
このシリーズは、読者が数学の授業中に気になったり立ち止まったりしてしまうところ、例えば「式とグラフ」では「なぜ式にxやyといった『文字』を使うのか？」「なぜ丁寧に答案の式を書かなければいけないのか？」などの細かなところから説明してくれます。
数学の授業で教わっているときに実際にそのような疑問を思い浮かべても、解決されることは少ないかもしれません。
理由としては、授業中に質問するのが恥ずかしい、質問するタイミングを逃す、授業がどんどん進んでいく、クラスメイトを見るとみんな納得したように見えるから疑問だと言いづらい、先生が解説してくれない、先生は解説してくれたが理解できなかったなど、様々だと思います。
この本では、そのような些細な疑問を「テトラ」や「ユーリ」が「僕」に質問し、「僕」は丁寧に噛み砕きながら説明してくれます。
後輩の女子「テトラ」と従妹の「ユーリ」は年齢や数学への理解度はそれぞれ異なりますが、二人に共通しているところがあります。
それは「わからないことへの素直さ」です。これは本文でも「僕」にも言及されています。
分からない点を言葉にすることは恥ずかしさや格好つけが優先されて、なかなかしづらいものです。
しかし、この二人は疑問に思ったことを素直に言葉にしています。「僕」はそれを馬鹿にすることもせずに丁寧に説明してくれます。まさに二人が読者の代弁者になってくれているわけです。
この「素直さ」は何歳になっても持ち続けたいですし、そのような「素直さ」を持っている人に出会った時には力になってあげたいと思いました。
「式とグラフ」では主に文字、代入、恒等式、方程式、グラフ、比例、反比例などを扱っています。
それらにつまづいた人も、より理解を深めたい人にもオススメです。 -
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ネタバレ数学ガール秘密ノートで自分にとっての最後の1冊を読み終わりました。今回は「複素数の広がり」という副題となっています。複素数は高校の数学で習いましたが、「2乗すると-1になる」というそれまでなかった概念が導入されたということは理解していたと思うのですが、それで何が便利になるのか、どういったことに使われるのかについては教えてもらえなかったと記憶しています。
数学ガールでは用途については特に説明されていませんでしたが、複素数を常に図形で表してみたり、実数との違いについて丁寧に説明したり、共役複素数という互いに虚数部分の絶対値が等しい複素数について図形で確かめながら説明がなされ、「嘘」の概念ではなく、実際に図形上確認のできる「実際の」数値的概念であることが理解できるようになっています。
a+biの共役複素数はa-bi
a-biの共役複素数はa+bi
また複素数を三角関数で表現できることも確認した上で、複素数の積は加法定理を介して偏角の和と単位円に対して絶対値をもって図形上表現できることも学びました。
その後、先生からのメッセージで「正五角形を複素数を介して図形上表現」し、テトラちゃんの希望から、その頂点を「実際の複素数」で表すといったことも行いました。
最後に複素数に対して3次元数、4次元数を表現することができるのかどうかを証明していきます。そこではまず3次元数は矛盾があることを証明しました。また4次元数はテトラちゃんの「ベクトルで表現する」というアイディアとその方針では一部の矛盾を内包していることを確認します。しかしそのアイディアを生かして積の交換法則を回避した複素共役を利用した数式の変換で表現できることを仲間と一緒に証明するのです。 -
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ネタバレ0,1のビットはせいぜいコンピューターが処理するときに使う基本的な仕組みという程度の話で、一体どんな物語をかけるのかなと思いながら読み始めました。
まずわかりやすい例としてスキャンとプリントの話が出てきて、「F」という文字をスキャンするとき、プリントするとき、ビットのデータを使って行ったり、あるいはちょうど半分で入れ替えたり、外枠だけをアウトプットしたりということをやりました。この外枠だけをアウトプット、というのが難しく、テトラちゃんは隣り合うビットが1のとき（データ出力するとき）真ん中のデータは0に変換すれば外枠だけが出力されるはず、という規則に気が付きました。おしくも縦の枠だけ出力され、横の枠は出力されませんでしたが、基本的にはこの規則を横の枠にもあてはめればよいのでほぼ正解と言えます。リサとテトラちゃんとユーリだけが登場するこの導入はなんとなく微笑ましい感じでした。
次に補数表現ということを考え始めました。この2進法では符号も含めて0,1で表記する手法があります。例えば4ビットのデータの例で考えると先頭のビットが1の場合はマイナスであると定義します。符号なしデータとしてとらえると1000は10進数の8ですが、符号ありデータとしてとらえると、1000は10進数の－8になります、以降1001は-7、1010は－6、、、、、1111は－1となります。
これについて僕は符号なしデータがあらわす10進数の算出が分かりにくいことに気づきます。ユーリはリサに教えてもらったとおり、「全ビットを反転して1を足す」と符号なしデータの10進数の算出ができる、と言います。例えば1000であれば
全ビットを反転：0111
1を足す：1000
8になったので-符号をつけてー8であるとわかる。
このような感じです。
次にリサからもらった謎の式について考えます。この謎の式は本書の後半でも出てくる重要な式となっています。
n & -n
これはビット単位の論理積です。
n -n n & -n
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
nも-nも両方とも1の場合、n & -n が1になるというのが論理積です。
例として
n= 0110の場合 -n=1010となり、n & -n = 0010
（ここでユーリは答えを言いたがりますが僕はゆっくりと例示して考えます、、、）
n=0001の場合、-n=1111となり、n & -n = 0001
これを整理すると、n & -n は4ビット中、1ビットだけが1となる法則があることに気がつきます。
そしてこのnは以下の形で表せることを示します。（ここはなかなか気がつかないと思います、、）
n=2^m*奇数
そしてこのmの値の並びにも規則があるようです・
0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,,,,,（一体どんなルール？★）
次にミルカさんとリサと僕はフリップ・トリップというゲームについて考えます。
4ビットのデータでオセロのように白、黒のパターンを作る。
4つとも白から始める。
1度に1つだけ反転させることができる。
全てのパータンを尽くすとクリア。（フルトリップ）
ただし途中同じパターンを経由するとNG。
これは実際やってみるとなかなか難しかったのですが僕が消去法的に反転を繰り返していくとフルトリップに成功するのですが（ミルカさんは瞬殺、、）どのビットを反転させるかの順番が★に出てきた値の並び通りなのだそうです。
ここでルーラー関数（ρ関数）というものが紹介され、4ビットデータの1があるビットの右側にある並んだ0ビットの数が★と合致することも紹介されます。
さらにハノイの塔の操作順もこの★と合致するというのです。
最後にブール関数というものについて考えます。これはデータ間の順序関係を表すために導入された考え方でした。いくつかあるビットパターンのデータにおいて順序関係がが成り立つにはどのようなルールが成り立っていればよいか。それをやはり4ビットデータを例に考えました。
順序の公理
・反射律：x ≤ x
・反対称律：x ≤ y かつ y ≤ xならば x = y
・推移律：x ≤ m かつ m ≤ yならば x ≤ y
これが成り立てば、それぞれのビットデータ間で順序関係が成り立つと言える。
今回はミルカさんが僕に優しかった気がしましたが、最後の僕が「どこまでいけるんだろう」といったふとした問いかけにミルカさんが「君が望むなら、どこまでも」と答えたのが印象的でした。 -
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ネタバレ数学ガールの秘密ノート場合の数の本と並行して読み進めて、確率の冒険も読み終わりました。コインを投げて表・裏のどちらが出るか？というシンプルな試行についてよくよく考えると確率の難しさと面白さがわかってきます。あまり深く考えずにいるときの確率と、「全体は何か」をしっかり把握した状態での確率は全く違うものであるかのようです。
条件付き確率を説明した章において全体（全事象）が何かをしっかり把握することの大事さを知った上で、終章で「未完のゲーム」に挑みます。
Ａさん、Ｂさんがコインを繰り返し投げて表が出たらＡさんに1点、裏が出たらＢさんに1点が入ります。先に3点先取したほうが勝ちというルールにおいて、Ａさんが1点、Ｂさんが1点を取得した段階でゲームを中断しました。このとき3点先取したときに得られる報酬があった場合、どのように分け合えばよいと考えられるでしょうか？
（これと似た問題をギャンブラーだったシュヴァリエ・ド・メレが考えたとされており、パスカルに相談したそうです。さらにパスカルはフェルマーに相談したともいわれ、確率の考え方が必要であるという進展につながっていったという経緯があるそうです。）
このシンプルな問いから、確率の奥深い世界にいざなわれます。日常生きている分には、1点ずつ取得しているのだから、報酬は半分ずつでよいだろうと結論づけることになると思います。しかし、これが例えばＡさんが2点取得、Ｂさんが1点取得している場合はどう考えたらよいでしょうか？報酬を2:1でわけることは公平でしょうか？
あるいはＡさんが100点先取、Ｂさんが80点先取で勝ちというルールだった場合はどうでしょうか？様々なルールや状況に応じて何が公平なのか示すことはとても難しくなっていきます。
ここでは少ない回数（2回先取で勝ち、3回先取で勝ち）から試行して、見出すことのできるパターンから一般的なルールを見つけ出します。漸化式を使った考え方でn回試行したときのAさん、Bさんが勝つ確率を見出していくのです。その中で「あと何回表が出たらＡさんが勝つか（逆にあと何回裏が出たらBさんが勝つか）」を関数で表していくことになりますが、漸化式を適用するなかで「あと-1回表が出たらＡさんが勝つ」といった現実的には起こりえない計算式も導かれてしまいます。ここでミルカさん、僕、テトラちゃんは「Ａさんが勝ってもコインを投げ続けること」を「あと-1回表が出たらＡさんが勝つ」ことと同義であることを見事に見出し、式を拡張して漸化式を完成させます。
この物語の面白いところはコインを投げるという現実の試行と数式の導出という論理的な世界における思考をいったりきたりするところにあります。数式は突然導き出せるものではなく、現実世界の試行の結果見出せるものであり、逆に現実世界での限りない回数の試行は論理的な世界における思考や数式によって表現することができるのです。 -
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ネタバレ場合の数の難しさは今、求めようとする場合の数がどういう条件下において求める必要があるのか、どういう制限が隠れているのか、洗い出すことの困難さにあると思います。今回の数学ガールではテトラちゃんが数人集まった人達が、握手をするときに何パターンあるのかという不思議な問題について考えていた時に、単に握手するという条件だけではなく、そこにいる人達が交差しながら握手してはいけないという条件下で求めるような問題設定になっていた。3,4人のケースでこれを洗い出す分にはそれほど難しくはないが、6,7人となっていったときにとたんに複雑さが増してしまう。
テトラちゃんと僕は、この交差してはいけないという条件下において、Aさんを軸として考えた場合に、Aさん以外の人たちがどのように握手するパターンがあるかを考えた。その際例えば全体で6人がいた場合に、AさんがBさんと握手すると、残りはC,D,E,Fさん4人による握手パターンを考えればよいのことになるが、これは1人、2人、3人、4人、、、と順に考えてきた場合における、4人の握手パターンをそのまま答えとして適用してよいということです。場合の数においてはこの繰り返しの構造というか、小さいものの答えから大きいものの答えを導き出すような考え方が多く出てくる。式においては漸化式がその考え方に基づいている。
ここでは式が重要なのではなく具体的な問題を考えるときに、たくさんの人がいる場合の握手パターンという事象を正しくとらえることができるかどうかは、人数が少し少ないときのパータンを応用していけるかどうか、部分集合をしっかりと定義しながら答えを算出していけることに気づき、抜け漏れなく整理していけるかどうかにかかっています。なかなか自分だけではこの整理ができないわけですが、数学ガールのような本の考え方に慣れていくと、その考え方に気が付くことができるのだと思います。 -
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ネタバレ平均、偏差値という言葉について、日本人の多くはその数値が持つ意味を理解していると思います。特に平均についてはその意味は正確に理解しているはずです。一方偏差値については教育の現場で使われていたし、自分のテストに対して「国語のテストの偏差値は60でした。数学のテストの偏差値は65でした。」といったようにスコアリングされていたので馴染みがあるものだと思います。
しかし偏差値がどのように算出されるか？については数学を基礎から学んだ人しか説明できないでしょう。
（偏差値）
偏差値＝50+10×(Xk -μ)/σ
ただし、平均点=μ, 標準偏差=σ, Xkは本人のテストの点数
例えば 平均=60、標準偏差＝5、Xk＝70とすると、
偏差値＝50+10(70-60)/5 = 70
となります。
ここで標準偏差=σ（シグマ）という耳慣れない用語があります。これはどのように求められるかというと、
（標準偏差）
σ=√V
ただし、Vは分散。分散の平方根（√）のうち負でないほうを標準偏差とする。
ここでまた分散=Vという用語が新たに出てきてしまいました。
（分散）
V = ((X1-μ)^2 + (X2-μ)^2 + … +(Xn-μ)^2) / n
ただし、平均点=μ, X1,X2,,,はそれぞれの生徒のテストの点数、nはテストをうけた生徒の総数
分散の意味はそれぞれの生徒のテストの点数が平均とどれだけ乖離しているかをプラス、マイナス両方について考慮できるように各々の差の2乗をとって計算したものであり、今回行われたテストは平均値と比較してどれだけ乖離が大きいか、データの散らばりが大きいかを平均的に表したものになります。
乖離の状況は各々の乖離の状況について2乗した形となっているため、その平方根をとった値が実質的な乖離状況を表しておりそれを「標準偏差」としています。用語が表す意味としては「全部のデータを見たときに、標準（平均点）と比べてどのような偏りの状況にあるか？」と理解するとよいと思います。
さて偏差値の定義に戻ってその値がとる意味について考えてみると、
偏差値＝50+10×(Xk -μ)/σ という式で表されますから、
自分のテストの点数Xkが平均から離れていればいるほど、50という偏差値の中央値から乖離します。また分散が小さければ小さいほど自分のテストの点数は50という偏差値の中央値から乖離します。
他の生徒のテストの点数が平均と比べてばらつきがないほうが自分のテストの点数のばらつきが際立って偏差値は50という中央値から外れていくことになります。
さてこういった統計を考えるにあたって基礎的な用語について計算を通してしっかり理解した上で、コインを何度か投げた時に表、裏が出る確率について考えます。ここでとても面白い考え方が示されます。コインを投げた時に表が出る確率はいくつか？という大変基本的な問題です。コインの裏表に有意な差がなければ、その確率は50%です。しかし、その試行回数が少ないとき（1回）と多いとき（例えば100000回）で違いはあるのでしょうか？違いはありません。しかし期待値を使って導出する式を見ると、また違った意味が現れるのです。ここはぜひこの本を読んでその不思議に触れてほしい部分です。自分は読んでいてぞくぞくしました。
導出までの説明は省略しますが、
E[Y] = p
（Yは確率変数、Eは期待値、pはコインの表が出る確率）
V[Y] = p(1-p)/n
（nはコインを投げる回数）
√V[Y] = √p(1-p)/n
さて最後の式は分散の平方根ですから、標準偏差を表しています。nはコインを投げる回数です。分母が大きければ大きいほど標準偏差は小さくなるということが読み取れます。つまりコインを投げる回数が多ければ多いほど標準偏差が小さくなるということです。とても不思議であるとともに、コインを投げる回数が多くなるほどに表、裏が出る回数に偏りが小さくなるというのは経験的にも納得がいくものではないでしょうか。これは「大数の弱法則」と呼ばれるそうです。
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ネタバレ前に読んだ数学ガールのニュートン力学の最終章で積分が出てきてわからなくなったため、こちらの数学ガールの秘密ノート積分を見つめて、で積分を先に学ぼうと思い読み始めました。
自分は高校生のとき微分だけを中途半端に学び、積分は全く学ばなかったので、微分と積分は互いに逆の関係が成り立つ、という程度の知識しかありませんでした。それは間違ってはいないようですが、実際に計算するとなると微分よりも積分のほうがとっつきにくい面があります。この本に出てくるテトラちゃんが躓くところはだいたい自分も躓いていました。
まず式での表し方として積分ではインテグラル（∫）が登場します。そしてその記号の右側の上下に数字または記号はくっついています。この意味が普通、すっと入ってきません。ある区間の面積を求める際に「下の記号がさす範囲から上の記号がさす範囲」ということが丁寧に説明されていて理解することができました。
また∫の右側の式では式＋dxという形になっており、これは単に「積分する」という意味であることも丁寧に説明されています。Σとの関係（Σも合計を示すものだから）についても説明されていて面白かったです。
その式によって何を表すのか、場合によっては式の部分部分が何を意味するのかを理解した上で計算をすることは、自分が何をしようとしているかを整理するためにとても大事であると思います。
今回は円の面積は無限大に分割した扇形の面積の合計であるという考え方に基づいて、円の面積は積分によってπr二乗によって求められることを証明します。
このとき、三角関数（sin, cos, tan)の考え方も利用する必要ありました。自分はそこは復習しました。
はさみうちという考え方で円の面積を積分の考え方で導く方法は現実世界の考え方に即していてとてもきれいだと感じました。「対象の円を無限台に分割したとしたら」はさみうちにつかった両側の面積はそれぞれはさみうちされた円の面積の大きさに収束する、というとてもきれいな結果を導くことができます。
このとき極限の公式を使います。θを0に限りなく近づける場合、sinθ/θ=1に収束するというものですが、ここは自分もテトラちゃんと同じように0/0（0除算のエラー）になってしまうのでは？と疑問を持ちました。ただ、図形でsinθ、θそれぞれが表すものを考えると、それは1:1に収束するので、全体として1に収束するというように理解できました。
微分は瞬間瞬間の状態を表すものですが、積分は瞬間瞬間の合計を無限に細かい単位で集めるときに使うもので、自分の日常生活でもなくてはならない考え方です。ある時間の間における移動距離とか、ランダムな形の面積であるとか、さまざまありますがとてもきれいな方法で計算できるということがわかりました。 -
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ネタバレ数学ガールのニュートン力学という中二心をくすぐる数学と物理の組み合わせにとても期待して読みました。
この本ではユーリと僕が「ボールを投げるとなぜ放物線になるのか」という疑問から、投げたボールは水平方向には等速直線運動、垂直方向には投下速度直線運動をしていることを式で表していく。
ただ、なぜ投げたボールが放物線を描くのかを納得できないユーリに、僕はニュートンの運動方程式を用いてボールの運動を説明することになっていく。ここでは力と加速度の関係を一つの式で表すことができる。
F = ma
というシンプルな式で。（F=力、m=質量、a=加速度）
投げたボールについて水平方向、垂直方向（鉛直下向き方向）に、それぞれかかった力から加速度を、加速度から速度を、速度から位置を時刻で積分することによって求めることができることを知る。
逆に、位置を時刻で微分すると速度を、速度を時刻で微分すると加速度と、加速度を時刻で微分すると力を得ることができる。
力（時刻で積分）→加速度（時刻で積分）→速度（時刻で積分）→位置
力（時刻で微分）←加速度（時刻で微分）←速度（時刻で微分）←位置
さらに質量が大きいと加速度が0に近づいてしまい、質量が大きいものほど落下速度が遅くなってしまうのか？というユーリの疑問を解消するために、ニュートンの万有引力の法則の説明に入っていく。
F = mg
（F=力、m=質量、g=重力加速度）
地球からボールにかかかる重力の大きさはボールの質量に比例する。
このことから、質量が大きいものほど落下速度が遅くなるということはないことがわかる。
一方、テトラと僕の会話では、物理学と数学の境目について話がなされる。物理的な事象を考えているうちに積分の考え方が導入されてしまっていたからだ。
僕は物理的な事象を数式を使って表現する。テトラはニュートンの運動方程式はふたつの世界をつなぐ架け橋のようなものだいうと説明に納得する。
その後、投げ上げたボールが戻ってくる時刻や、投げ上げたボールが戻ってきたときの速度や、投げたボールはどこまで高く上がるか、といったことを計算していく。
次に僕とテトラは力学的エネルギー保存則を使ってこの事象を簡単に表そうと試みる。
力学的エネルギー＝運動エネルギー＋位置エネルギー
1/2mv(2乗）+ mgh
そしてミルカが登場する。ミルカと僕とテトラは力学的エネルギー保存則を、ニュートンの運動方程式と万有引力の法則から数学的に導くことができることを解き明かしていく。
＊この最終章の5章あたりから積分の考え方多様されていて細かく理解できなくなったため、先に積分の学習をもう少ししてからこの本を再読することにしました。 -
Posted by ブクログ
ニュートン力学の基本から、運動方程式と積分を使った速度や位置の導出、万有引力の法則など、高校で習う力学の基本的な部分を非常に丁寧に説明しています。
特に、力学的エネルギー保存則は、私にとって初めてきちんと理解できたように思っています。
また、登場人物のセリフの中で最も印象的なのは「物理では、数や量より、むしろ関数を扱っているように思った」というテトラの言葉です。
物理では微積分はもちろん、ある量を最小化する関数をたくさんの関数の中から見つけるようなことをします。
これとテトラの言葉がつながっていると感じました。
この本を読める今の中学・高校生がうらやましい！
(数学ガールシリーズを読むと、いつもこう思います) -