小島寛之のレビュー一覧

素数ほどステキな数はない～素数定理のからくりからゼータ関数まで～

小島寛之

素数の性質や素数に関する未解決問題について解説した本。高校1年生レベルの簡単な性質から始まり、最後はリーマン予想とその周辺の公式の解説がされる。

ゼロから学ぶ線形代数

小島寛之

⚫︎線形代数の基本イメージ
ベクトルや行列の基礎について改めて学びたく、入門書を探していた。ベクトル、行列式、4次元、逆行列、固有値を学んだが、イメージを大切に説明がなされており、線形代数が難解だという印象が無くなった。

4次元の概念の説明は非常に印象的だった。数学上の概念や、相対性理論とのからみから、理解が進んだ。コラムは息抜きと読んでいたが、これも重要な位置付けとなる。

科学の発見とは表現方法の発見。現象はもともとあるもの。モデルを人にとってわかりやすいものとし、モデル上で検討を行う。大切な科学の考え方だと感じた。

完全独習 ベイズ統計学入門

小島寛之

簡単な面積図で、ベイズ推定が何をやろうとしているのかをザクッとわかりやすく示してくれる。概念を大づかみに理解できるので、その後の学習に大いに役立つ。計算が複雑になりそうなところはきちんと「ここは省略する」「証明は示さずに天下り的に結論を示す」と正直に書いてあるので、次にほかの本で学習を深める際に攻略すべきポイントも把握しやすい。本当の初学者はここから入った方がいいと思った。

完全独習 統計学入門

小島寛之

統計学の参考書で一番分かりやすかった。入門中の入門なので、本書に沿って章末問題に取り組むことで、分散、検定、標準偏差のところから最終的にはカイ二乗分布やt分布のところまで学ぶことができる。初学者向けなので頑張れば1日で一通り学べると思う。唯一のデメリットは問題数が少なすぎること。この本の章末問題を全てやった後に他の統計本の問題に取り組んでより統計の理解を深めるといった使い方が良さそう。

完全独習 統計学入門

小島寛之

カイ二乗検定やT検定についてここまで噛み砕いて説明してくれる本は中々無いと思う。その代わり反復や次の本へのステップアップも必須だが、大学の統計学でつまづいた人にまず読んで欲しい本。

素数ほどステキな数はない～素数定理のからくりからゼータ関数まで～

小島寛之

ひたすら素数ばかりを扱った本。
極力、初等関数を使って証明しているので、とっても分かりやすい！
時間をかければ、誰でも理解できます。

今まで理解できなかったRSA暗号の仕組みが、ついに分かった！
RSA暗号はオイラーの定理、ウイルソンの定理、そして合同式が分かればOK。

＜オイラーの定理＞
Nを2以上の自然数、1以上N以下の自然数でNと互いに素なものの個数をmとする。
このとき、Nと互いに素な任意の自然数aに対して、
　　　　　　　a^m≡1(mod N)

＜ウイルソンの定理＞
pを素数とする。そのとき、
　　　　　　　(p−1)!≡−1(mod p)

最終的には素数定理を証明して締めくくっている。
証明にはゼータ関数も出てくるけど、ゼータ関数も初等関数で証明しているので安心。

＜素数定理＞
x以下の素数の個数は、x÷logx で近似できて、大きいxに関しては近似精度が良くなる。
π(x)∼logx​(x→∞)

そして、いまだ未解決のリーマン予想へと続く…。

完全独習 統計学入門

小島寛之

統計検定を受けるにあたって超入門書として利用

ヒストグラムの話から始まりカイ二乗分布とt分布を使った推定までの内容なんですが、すっごいわかりやすいです

標準偏差のところもいろんな角度からイメージしやすい形で説明してくれているので、標準偏差がより身近なものに感じることができました

中途半端に数学を組み込むのではなく、本当に中学数学にとどめて描き切ったのは脱帽です

ゼロから学ぶ線形代数

小島寛之

「行列式はその行列を構成するベクトルの平行4辺形面積（または体積）」

ということを軸にしてクラメールの公式、内積・外積、固有値固有ベクトルまで解説。

間に経済学や物理学などでの理論の応用も説明。

線形代数を幾何学な観点から一貫して説明していたので、読んでいても面白かった。

線形代数で抽象的な部分で理解に苦しんでいる人には目からウロコが落ちると思います。

世界を読みとく数学入門 日常に隠された「数」をめぐる冒険

小島寛之

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小島寛之
1958年、東京生まれ。東京大学理学部数学科卒業。同大学大学院経済学研究科博士課程修了。経済学博士。帝京大学講師を経て、同大学准教授。宇沢弘文に師事し、数理経済学、環境経済学、意思決定理論を専門とする経済学者として旺盛な研究・執筆活動を行うかたわら、数学エッセイストとして活躍。中高生向けの入門書から高度な学術書まで多くの著書を持つ。日本ペンクラブ会員


なぜなら、数を表わすのに記号が２種類しか必要ないからである。０と１という特別な二つの数字だけを使って、すべての数を表わすことができてしまうわけである。８進法についてはの指で説明したが、２進法を理解するにはドラえもんを想像すればいいだろう。指がないから、腕を上げ下ろしして数を数えるのである。 10 進法の数を２進法に直していくと、次のようになります。

フォン・ノイマンは、数学・物理学・経済学など広範囲にまたがって多くの科学的な業績を残した。それに敬意を表して「悪魔の頭脳」とあだ名がついているぐらいです。

しかし、完璧な規則が発見されていないとはいっても、数学者たちは素数についてぼんやりとした性質ならば発見してきている。たとえば、素数は大きな数になると、どんどん少なくなっていく（希薄になっていく）ことがわかっている。 　具体的にいうと、 までに素数は 25 個あり 25 パーセントもの高濃度で存在するが、１億までには、５７６万１４５５個で６パーセント程度しかない。調べる範囲を広げるにつれ、存在する素数の濃度は、どんどん薄くなっていくことが証明されている。しかも、それはおおよそ調べる個数の「ケタ数から１を引いた数」に反比例することが、 19 世紀の数学者たちによって突き止められているのです。

古くから数学者に興味を持たれた数に、「完全数」というのがある。これは、「自分自身を除いた約数の和が、自分自身になるような数」のことである。 　最初の完全数は、６である。６の約数で自分自身以外のものは１、２、３であり、これを加えると自分自身の６に戻る。紀元前のギリシャの数学者が、これを完全数と呼んだのは、これが「世界」を表現しているかららしい。１は神、２は男、３は女、これを合わせると世界を表わす６になり、６には神、男、女のみが部分として存在する、そう考えたのである。 　次の完全数は 28 である。 28 の約数は、１、２、４、７、 14 なので、1＋2＋4＋7＋14＝28だからです。

しかし、現代を生きる私たちに、「分数」は別の意義を与えている。それは「確率」という考え方である。現代社会は、さまざまな不確実性の正体を明らかにし、それを制御するところまで進んできている。不確実性を表現するものが「確率」であり、この「確率」は、「分数」という数こそがみごとに表現できるのです。

世の中が不確実性に満ち満ちていることは、ずっと昔から人間にはわかっていた。だから世の中も人生もままならないわけである。しかし古代の人類は、「その不確実性にも数学的な法則がある」ということまでは思いいたらなかった。それに気づいたのは、 16 ～ 17 世紀の数学者たちであったのだ。当時はサイコロ 賭博 が流行していた。賭博では、戦略やルールを作るうえで、有利不利を考えるのは不可欠なことである。だから、賭博師たちは数学者に相談を持ちかけた。そこから確率の研究がはじまったのである。賭博からはじまる数学、というのも起源としてはなかなかです。

右図のように、全体を１として方程式を立てると、２次方程式ができる。これを解くことで、長い方の線分は分数 の長さであることがわかる。小数で書くと、おおよそ０・６１８だ。これが黄金比の正体である。式の中に５の平方根（）が現われた。黄金比の美しさ、それは平方根に秘密があったのです。

平方根は中学生のときに習うが、そのときは計算に終始するだけで、とても平方根にリアリティを感じる余裕などない。だから、中学終了後、ほとんど理科系に接触しなかった人にとって、平方根というのは、荒唐無稽 で日常生活とは縁のない数だという印象しかないであろう。 　ところがどっこい、そうではない。平方根はわれわれの日常生活のいたるところに見かけられるものである。 　そのよい一例は、「振り子」である。ひもの長さがＬメートルの振り子の周期は、 であることが物理学で証明されている。振り子の周期というのは、振り子が行って帰って元の状態に戻るまでの時間のことである。この算式で、 はご存じの通り円周率、 g は重力加速度で地表上では約（メートル／毎秒毎秒）と知られています。

天才オイラーの発見した無理数でもっと有名なものがある。それは 階 乗数の逆数の無限和である。 　階乗数というのは、１から n までのすべての自然数を掛けてできるような数のことで、 n!（「 n の階乗」と読む）という記号で書く。 　たとえば、 といったぐあいである。特別に0!＝1と決められている。 　これらの逆数を無限の彼方まで加えていってできる数、 をネイピア数と呼ぶ。ネイピアは対数を研究した学者であって、この数は自然対数の底として利用されるのでネイピア数と呼ばれるが、この数を定義し、無理数であることを示し、 e という記号を与えたのはオイラーである。その値は、おおよそ２・７１８２８。 　このネイピア数は、現在、数理科学を研究するには欠かせない数となっている。ピタゴラスの定理ぐらいの重要度だといっても過言ではあるまい。物理現象、生物現象、社会現象、とあらゆるところに顔を出すものなのだ。その中で、最も身近で、簡単なものを紹介しておこう。それは利子の公式である。 　利子は銀行預金やローン契約などを通じて、われわれにはとても身近なものである。利子は普通、年利で換算される。たとえば、年利 10 パーセントでお金をＮ万円借りると、１年後にはN×0.1だけを積みまして返済しなければならない。つまり、１年後の借金はN×（1＋0.1）に膨らむわけです。

　また、この方法論が、分子運動論を通じて熱現象にも応用されるに至り、人間を取り巻くあらゆる自然現象は、原理的には予言可能だというふうに思わしめた。人間の意識も、脳内物質の化学反応だとすれば、人間の運命もまた決定していることとなる。 　このような運命論的な 捉え方を、「 ラプラスの悪魔」と呼ぶ。数学者ラプラスは、ある時刻のすべての粒子の位置と運動量を知ることができれば、後は膨大なニュートンの連立微分方程式を解くことによって、その後、宇宙に起きることをすべて正確に予言することができると主張した。この能力を持った悪魔が、「ラプラスの悪魔」と呼ばれるようになったのである。 　ラプラスの時代の雰囲気を表わすのにちょうどいいエピソードがある。ラプラスはナポレオンに、「お前の本には神のことが書かれていないようだが」と尋ねられ、「私の理論にそのような仮説は必要ありません」と胸を張って答えたと言われています。

初期設定の数値を微小に変えただけで、対流の姿が途中から大きくずれていってしまうのである。つまり、 微かな違いしかないような温度・気圧・風向きからスタートした２つの対流が、そう長い時間を経ないうちに劇的に違った状態に分かれてしまうのである。この性質を「初期値敏感性」という。初期値のほんのわずかな違いが、大きな結果の違いを生むのである。これには「 バタフライ効果」というあだながついている。「北京で 蝶 がはばたくとニューヨークで嵐が起こる」という 喩え話に由来する話です。

これと同じことが、ピストンを押すときにも起きるのである。ピストンを押すと、気体の分子はピストンに当たる前よりも速いスピードで跳ね返っていく。これは気体の運動エネルギーが大きくなったことを意味するから、それによってシリンダー内の温度は高くなるわけである。大きくなった分のエネルギーは、ピストンを押す手の力によって与えられたのである。 　逆に、ピストンを引くと、跳ね返った分子の速度は小さくなる。これもテニスの経験からわかる。それによって運動エネルギーは減少し、シリンダー内の気体の温度が下がるわけである。われわれが暑い夏を快適に過ごせるのは、この分子運動論のおかげなのです。

しかし、驚くのはこれからである。 19 世紀までは、虚数はあくまで数学の中だけの架空の絵空事にすぎなかったのだが、 20 世紀になって私たちの住む現実の中にリアルに存在していることが 見出されることになったのである。ミクロの世界の物質法則である量子力学がその舞台です。

そもそも負の数は、歴史的に、商業での必要から発明されたといわれている。紀元あたりの中国や 12 世紀のインドなど商取引がさかんになった社会では、売り上げや資産の貸し借りを記録するために、負の数を利用したそうだ。いつの時代でも、必要こそが発明の母なのだ。現実が広がると数も広がるのである。 　では、「 虚数」はどうだろうか。負の数の平方根である虚数には、どんなリアリティがあるのだろうか。それを追求するのが本章の目標です。

タルターリアはこの数学試合で全戦全勝であった。それもそのはず、タルターリアは世界でただ１人、３次方程式の完全解法を知っていたからである。そのタルターリアのもとに１人の男がやってきた。カルダノという名前の数学者であった。この男は、第２章でも確率理論の先駆者として登場した。カルダノは非常に怪しい人物である。 娼婦 の子として生まれ、後に開業医となるが、花嫁の持参金を持ち出してすっかり 博打 ですったりするような無軌道な男だったようだ。このカルダノが、３次方程式の解法を教えろ、とタルターリアにしつこくつきまとうのである。根負けしたタルターリアは、他言しないことを誓わせたうえで、秘伝をカルダノに教えてしまう。もちろん、そんな約束が守られるはずはない。カルダノは裏切って、自著にその解法を発表してしまうのです。

見ているだけ、あるいは体験しているだけでは理解できない現実の正体を、われわれは虚構を利用して理解するのである。数学の世界にも、そういうことがあるのだ。実数を完全に理解するのは、実数の内部に閉じこもっていては不可能である。虚数というフィクションの世界に飛び込んでこそ、実数の本性に肉薄することができるのである。これは世界を知覚する上で、とても示唆的なことです。

こういうと読者諸氏は、虚数のかかわる物理現象なんて見たことない、とおっしゃるかもしれない。それもそのはずである。なぜなら、虚数のかかわる物理現象は、ミクロの世界、目に見えない極小の世界にしか存在しないからなのである。この章のこれから後半は、物理現象に現われた虚数のお話を展開することにしよう。

完全独習 ベイズ統計学入門

小島寛之

大変わかりやすかった。条件付き確率っていまいちモヤモヤしながら計算してたけども、面積の比を求めてるだけなんだなあと。

ベイズじゃないとことの関係性も触れてるし、全体的にすごく腑に落ちた。

21世紀の新しい数学 ～絶対数学、リーマン予想、そしてこれからの数学

黒川信重 / 小島寛之

専門家同士が話しているのを眺めているだけで楽しいという面白さがあった。
かなり難しい内容だが、触りとして興味がそそられるような話題が多く、もっと勉強してみたい気持ちになった。
遠くに感じる数学者というものが一人一人の個性のある人間とわかると、難解な数学が少し身近になったように思える。
整数を微分可能にするといったアイディアには、しっかり理解できないながらもとてもワクワクした。
また時々読み返したい。

完全独習 ベイズ統計学入門

小島寛之

四則演算で理解できるベイズ。入り組んだことを簡単に説明するという難しいことをしている。これで全体像を知って、より詳細な（数式を必要として読みにくいかもしれない）本を読むのが良い。

完全独習 統計学入門

小島寛之

〇目的
マーケティングリサーチの会社に入社し、日常的にサンプルから母集団を推計するような環境にいるため、統計学の基礎を学びたいと考えたため。

◯感想
数学から逃げてきた私に取って統計学を学ぶことは不安だったが、本書はそんな人向けに統計学の基礎を理解できる最低限の数式だけを用いて説明してくれる良書。

それでも生粋の文系の私には難しい部分はあったが、何回か読むうちにスッと入ってきた。

統計を投資のボラリティやシャープレシオ、サーフィンの波など身近な事象と絡めて説明してくれるたため抵抗感もなかった。

本書を1冊目として統計学の本を読んでいくと内容が理解しやすいのでは。

【継続する事・やること】
・統計の本についてあと1冊〜2冊ほど読む
・仕事上で出現する統計関連の不明点を都度解消する

◯メモ

完全独習 統計学入門

小島寛之

統計学を始めて学ぶ際の概念を掴む入門書として最適な本だと思う。小難しい数式は一切なく、t検定や推定の式の意味を理解することができる。

完全独習 統計学入門

小島寛之

最初のデータを見せて喜んでるのが勉強ばかりやってきた人が社会人になってキャバクラ接待しだす感じで気持ち悪いが、それをさておいて素晴らしくわかりやすかったです。どこまで理解すべきかをまとめてあり取り組みやすいと思います。違う教科書にもチャレンジしてみたいです。後半は誤字脱字あり。

完全独習 ベイズ統計学入門

小島寛之

こちらもすばらしい。「あの式」をイメージから含めて根本的に理解するため、丁寧に説明してくれる。主観確率の話で「チョコをくれた彼女の気持ちを推定」という例が出るなど。

完全独習 統計学入門

小島寛之

入門書として読みやすくすばらしい。根本から統計学を理解するために2回読んだ。それでもまだまだ、統計学は深い。

完全独習 統計学入門

小島寛之

統計が一番わかりやすい本である。論文にどのように記載するかは書いていないが、平均、標準偏差、標本と母集団の平均、標準偏差、t分布が丁寧にかいてある。統計を全く知らない学生に理解してもらうのに、一番丁寧な本である。数式もほとんど使わないので誰でも理解できる。

完全独習 ベイズ統計学入門

小島寛之

統計学を知らなくても読めるベイズ統計学の本である。最もわかり易い。ただし、これを読んだからといって、論文でそのままこのベイズを使って分析が出来るわけではないので、あくまでもベイズについて全く知らない人が読む本である。

世界一わかりやすいミクロ経済学入門

小島寛之

全く経済学わからない人でも読みやすいと思う！私はミクロ専攻してるけど、苦手意識が減りました！
経済学って勉強してても「社会で役に立つのかな」って思う時多いけど、この本は実際に社会でミクロの理論が使われている例が載ってて納得感ある。基本的な理論のみ解説してあるのも◯