素数ほどステキな数はない～素数定理のからくりからゼータ関数まで～

小島寛之

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数学界最高のナゾといってもよい「素数」の本当の魅力を徹底的に解剖します。素数とは１と自分自身以外に約数を持たない2以上の整数です。定義はとてもシンプルですが2000年以上にわたり数学者の研究対象になってきました。それにもかかわらず解明されていないナゾが多く存在します。そしてそんな素数は暗号として私たちの日常に大きく関わっています。本書は，素数の現れ方，判定法，個数と素数定理，存在定理であるベルトラン＝チェビシェフの定理，RSA暗号と因数分解，さらにほかの書籍ではあまり語られていない虚数・複素数と素数の関係や組み合せ論と素数の関係などに迫ります。最後では本書の総仕上げとして，ゼータ関数，リーマン予想と素数について解説します。定理や証明の理解に必要な数列，対数，微分積分，虚数などについても丁寧に取り上げているので，安心して読み進めることができます。

• カテゴリ: ビジネス・実用
• ジャンル: 学術・語学 / 理工
• 出版社: 技術評論社
• ページ数: 352ページ
• 電子版発売日: 2021年09月10日
• コンテンツ形式: EPUB
• サイズ(目安): 63MB

[ブクログ · ★★★★★]

素数の性質や素数に関する未解決問題について解説した本。高校1年生レベルの簡単な性質から始まり、最後はリーマン予想とその周辺の公式の解説がされる。

[ブクログ · ★★★★★]

ひたすら素数ばかりを扱った本。
極力、初等関数を使って証明しているので、とっても分かりやすい！
時間をかければ、誰でも理解できます。

今まで理解できなかったRSA暗号の仕組みが、ついに分かった！
RSA暗号はオイラーの定理、ウイルソンの定理、そして合同式が分かればOK。

＜オイラーの定理＞
Nを2以上の自然数、1以上N以下の自然数でNと互いに素なものの個数をmとする。
このとき、Nと互いに素な任意の自然数aに対して、
　　　　　　　a^m≡1(mod N)

＜ウイルソンの定理＞
pを素数とする。そのとき、
　　　　　　　(p−1)!≡−1(mod p)

最終的には素数定理を証明して締めくくっている。
証明にはゼータ関数も出てくるけど、ゼータ関数も初等関数で証明しているので安心。

＜素数定理＞
x以下の素数の個数は、x÷logx で近似できて、大きいxに関しては近似精度が良くなる。
π(x)∼logx​(x→∞)

そして、いまだ未解決のリーマン予想へと続く…。

[ブクログ · ★★★☆☆]

素人向けの読み物だけど程よく式変形も記載してあります。ただし、素人だけどゴリゴリ式変形したい人には向きません。省略が多いので（素人向けなので仕方ないです）。