遠山啓のレビュー一覧

数学入門 上

遠山啓

数の概念についてよく噛み砕いて説明してくれる良書。古い本なのに読みやすいの、かなり凄いことなのでは。

無限と連続

遠山啓

初版は1952年で、私の本は2022年の第67刷でした。
無限にも大小があるという不思議なことや、数字ではなくて「働き」についての話など、正直言って半分も理解できていないと思いました。
でも、はしがきに書かれている、音符が読めなくても、感受性さえあればすぐれた音楽の鑑賞家にはなれるはずである。まったく同じように、数式なしで数字を「鑑賞する」ことはできないだろうか。
という感じで、数学の雰囲気は鑑賞できたと思います。

この本の数学は現実世界とは関係ない世界で人間が創造したものかと思われましたが、量子力学や相対性理論の世界では、これらの数学があてはまる、ということなので、こういう数学も人間が創造したのではなくて、この世界にもとからあったのを人間が発見したのかな、などと哲学的なことを思いました。

無限と連続

遠山啓

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遠山啓（とおやま・ひらく）
1909-1979年。熊本県生まれ。東京大学数学科に入学するも退学、のち東北大学数学科を卒業。海軍教授をへて東京工業大学教授。数学教育への関心から民間教育団体「数学教育協議会」を結成、長く委員長をつとめた。数学教育の理論と方法を開発・提唱し、その水道方式、量の理論などは、教育現場に大きな影響を与えた。著書に『無限と連続』『数学入門（上・下）』（以上、岩波新書）、『代数的構造』『現代数学入門』『代数入門』（以上、ちくま学芸文庫M&S）『競争原理を超えて』（太郎次郎社）などがある。教科書や雑誌の創刊にも多く関わった。


一口にいってしまえば，集合論は「無限の数学」である．数学が無限という題目に立ち向かうことの危険を最初に警告したのは，アルキメデスやニュートン（1642–1727）と並んで，史上最大の数学者といわれるガウス（1777–1855）その人であった．19世紀においてはガウスの言葉は一つの意見ではなく，一つの掟であったに違いない．しかも，カントールはこの「無限」というタブーにあえて手を触れた最初の人だったのである．

　「無限」という言葉はしばしば使われてきたが，しかし，常識的には，それがはっきりとした意味をもつものとしてではなく，むしろ人間の数える能力を超えたものを意味していた．それは「有限でない」という単に否定的な意味しかもっていなかった．そのようなものがどうして正確さを生命とする数学の研究題目になりうるだろうか．まず，だれにもこのような疑問が湧いてくるに違いない． 　「無限を数える」とはいっても，有限を飛びこえていきなり無限に立ち向かうわけにはいかない．どうしても「有限を数える」ことから始めるのが順序である．無限は有限とはかなり異なったものではあるが，それでもやはり多くの点で似かよっていることもたしかである．

　「新教育」は数学のなかから論理性を抜き去ることによって，数学を実生活に即した実用的なものにすることができると考えていたらしいが，結果において，2＋3の計算はできるが2 0000 0000＋3 0000 0000の答は出せないというはなはだ非実用的な子供たちができあがらなければ幸いである．

最も初歩的な加減乗除においてさえ，一つ一つ数えるという素朴な手続き以上の論理が含まれており，この論理を最大限に利用したものが現代数学にほかならない．ちょうど天文学者が望遠鏡によって，また細菌学者が顕微鏡によって肉眼の不足を補うように，数学者は論理によって肉眼の欠陥を補うのである．

だが，部分が全体と等しいことの発見は何もカントールに始まるのではない．このことはすでに1638年に現われた本のなかにはっきりと書き記されているのである．その本というのは近代物理学の生みの親であるガリレオ（1564–1642）の『新科学対話』（今野武雄・日田節次訳，岩波文庫） である．

ある統計好きの人が調べたところによると，数学の研究論文をのせる雑誌は大小合せて全世界で800種以上にのぼるという．これだけの新研究を多量生産している現代数学に，おびただしい記号が必要であることはいうまでもないが，それでも注意深く用いれば，だいたい，ローマ字，ギリシャ字，ドイツ字だけで事足りている．だが，カントールは，集合論という新しい酒はとても古い革袋には盛り切れないと考えたので，わざわざヘブライ文字を持ち出してきたのかもしれない．しかし彼がわれわれの漢字を知らなかったのはいささか残念であった．数学が千年使っても使い切れないほどたくさんの象形文字のストックを持って少なからず当惑しているわれわれは，喜んで文字の輸出に協力しただろうに……．

しかし，たとえば黄河やナイル河のような大河のほとりに多くの人が集まって農耕を営み，国家ができあがるようになって，田畑の面積を測り，収穫量を測り，租税を割りあてる必要が起こってくると，もはや1, 2, 3, 4, ……の自然数だけでは足りなくなる．どうしても割り算，掛け算の必要が起こってきて，いつでも割り算ができるようにするには分数が要求されてくる．したがって古代中国，エジプト，インド，バビロニヤのような大きな農業国家において要求された数はせいぜい分数までであった．このように生産様式が大局的には数学の発展段階を定めているのである．ガリレオに始まる近代物理学は，その手段としてニュートン，ライプニッツの微分積分学の成立を促したが，ここでは分数以上の数である無理数が不可欠となってくる．

現代の数学でとくにいちじるしい対立をなしているのは「もの」の概念と「働き」の概念である．もちろん，一つの文章はすでに「何かの もの が何かの 働き をする」という形をとっているのと同じく，数学のなかにもこの二つが対立していることは当然であろう．ガロアの輝かしい功績は，この「働き」をきわめて明瞭な姿で数学のなかに持ち込み，それを数学全体の指導原理たらしめた点にあるといわねばならない．

数学では簡単だからかえって難しいことがしばしば起こる．位相空間の定義などもその一例である．なぜなら，このような簡単さはただの簡単さではなく，複雑なものから極度の精錬をへて得られた簡単さだからである．

いっきょにそのような抽象の高みに飛躍することはやめて，根気よく一歩一歩登ってゆくことにしよう．この登山が決して楽ではないことはたしかであるが，一度頂上が征服された暁にはすばらしい展望が開けてくることも約束していい．位相空間は現代数学の山脈のなかの高峯の一つだからである．そしてこの登山の道中で現代数学の方法を一とおり学びとることができるだろう．

これからのべられる議論が外見的にはいかにも抽象的であるために，このような理論は現実と何らのつながりももっていない思考遊戯にすぎない，と考える人が多いに違いない．しかし，数学者にこのような理論の建設を強いたのは，数学者の抽象癖ではなく，より現実的な学問である物理学や力学であったことを強調しておきたい．具体的即現実的，抽象的即非現実的という連想は常識的であるが，数学のなかではこの常識は必ずしも通用しない．ある意味ではその反対なのである．

盲目といえば，われわれは現代の世界的数学者L. S. ポントリャーギン（1908– ）を思い出さずにはいられない．13歳のときポントリャーギンはある爆発事故のため両眼とも失明し，永遠の暗の世界につき落とされてしまった．盲目の少年がどうして世界的数学者になりえたか，これはまさしく一つの奇蹟といわねばならない．

そのためには，不具者に行きとどいた保護の手をさしのべる社会的環境が前提となることはもちろんであるが，彼の場合には，その上に母親の深い愛情が秘められていた．彼の母親はたいした教養もない一裁縫師にすぎなかったが，盲目の愛児を毎日学校につれてゆき，あらゆる教科書や文献を読んで聞かせた．やがて彼は世界的なトポロジスト，アレキサンドロフ（1896– ）を指導者とする学派に加わってたちまち頭角を現わし，24歳でモスクワ大学の教授に任ぜられた．

小人の王を持ち，小人の人民からできている小人国に12倍の身長をもったガリバーが流れついて，小人たちの間に大騒ぎが起こる．『ガリバー旅行記』の作者の非凡な推理力は，12倍の身長から引き出されるであろうところのあらゆる結論を，非難の余地のない正確さで描き出している．ガリバーの身長が12倍だということさえ承認すれば，それ以外には何一つ不合理なことは発見できない．その正確さはまったく驚嘆のほかはない．この物語を読む人は，まるで直線だけでできている見事な幾何模様のような美しさを感じとるに違いない．もっとも，スウィフトは計算があまりじょうずでなかったとみえて，ガリバーの食料配給量が身体の容積に比例すべきであるといういとも科学的な議論をのべたあとで，さて計算の段になると123 ＝1728とすべきところを123 ＝1724と答を出している．この計算違いはたしかに不朽の名作とともに残る不朽の御愛嬌であろう 4）．

　『ガリバー旅行記』はその内部には矛盾を含まないが，やはり小人国以外の国から見れば架空の物語であることをまぬかれない．非ユークリッド幾何学も，その内部には矛盾を含まないにしても，やはり「健全な常識」からみれば一つの寓話にすぎないと思える．しかし，はたしてそうであろうか．いや，非ユークリッド幾何学は『ガリバー旅行記』よりははるかに現実的な意味をもっていることを示したのはクラインとポアンカレであった．この二人の方法は少しく異なっているが，ここではクラインの方法をのべることにしよう．

建築技師であったデザルグは職業上の必要から投影法に上達していた．アカデミックな数学者とはおよそ似てもつかない活動的な技師であったデザルグは，もっぱら実用的な動機からこの新しい幾何学を発展させたのである．彼はまた労働者の教育に努めた熱心な技師でもあった．彼の論文のなかには「木」とか「枝」とか「小枝」とか「 節」とかいう珍らしい術語が現われるが，これらの言葉のなかにアカデミーの選ばれた学者の前で講演をしている数学者ではなく，夜学に集まった知識欲に燃えた労働者に講義している熱心な技師の姿をしのぶことができよう．

文化としての数学

遠山啓

この人の文系向けに書かれたいろんな解説を集めたもの、というかんじ。数学がどんなものか、まずおおまかにその考え方、"哲学"みたいなものを理解したい、という人にはとてもいいと思います。

数学入門 上

遠山啓

もっと早く出会いたかった名著です。高校生の頃いきなり難しい応用問題の授業をされて数学が解らなくなった経験があります。この本の存在を知っていればと唯一後悔してます。

無限と連続

遠山啓

集合論、群論、位相空間についての一般向け入門書。いわゆる”理系”でない人にもわかりやすくしようと、数式はあまり使わないように書かれている。ただ、昔の本は最近の類似の入門書より、内容が高度だったり、例がかなり圧縮された記述でパッとわかりにくかったり、でこの本も例に漏れない。薄さの割には内容が圧縮されていて、けっこう時間をかけて楽しめる。（この本がさらっと読めてしまう人はそもそもよむ必要があまりない人だろう）含蓄もあり古典感がある。もうちょっと具体的に、という人は同じ著者の『現代数学対話』がいいと思う。
昔の”本を読む人”は賢かった、ということもあるだろうが、今ほど本が溢れていないからもっとゆっくり読む習慣だったのかもしれないな、、なんてことをちょっと思ったりもした。

数学入門 下

遠山啓

８　数の魔術と科学
９　変化の言語ー関数
１０　無限の算術ー極限
１１　伸縮と回転
１２　分析の方法ー微分
１３　総合の方法ー積分
１４　微視の世界ー微分方程式

数学入門 上

遠山啓

１　数の幼年期
２　分離量と連続量
３　数の反意語
４　代数―ずるい算数
５　図形の科学
６　円の世界
７　複素数―最後の楽章

無限と連続

遠山啓

現代数学の概念、集合、群、束、トポロジー、非ユークリッド幾何学などを極力数式を使わないで平易に説明されている。平易でも抽象数学なので頭をフル回転しないといけないな。1952年に発行の岩波新書だが、現在にも価値がある一冊である。

数学入門 上

遠山啓

上巻は、古代の数から、分離量と連続量、正と負、代数、図形、円、複素数までを扱う。数について改めて考える時間をもらった。

代数入門 ──数と式

遠山啓

高校数学を終えて、大学数学の架け橋となるレベルか。

決して易しくないが、解答や定理への道すじが詳しく示されているので、努力すれば、必ず報われると思う。よりスマートな別解がいくつか載っているが、こちらの方が理解は難しい。

個人的には2章の組み合わせに苦戦したが、対称式、ベルヌーイの多項式は興味深かった。

最後の解説は最初に読むと迷うことなく、全体への理解が進むだろう。

数学入門 上

遠山啓

齷齪と問題と格闘する数学から離れて、悠々と俯瞰しあれこれバックグラウンドやエッセンスを知る本。数学では何をしている（いた）のか考えることができた。
極めてよくある疑問に
・加減より乗除を優先するのはなぜか？
・どうして分数の割り算はひっくり返してかけるのか？
・負数どうしの積はなぜ正数か？
がある。この本の中で述べられている。
説明の仕方は色々あり、納得の仕方も人それぞれだろうが私はこの本の語りが好きだ。
"腑に落ちる"という言い回しがあるが、数学の疑問が解決したときの安心感は心地よい。

遠山啓著作集・数学教育論シリーズ 4 水道方式をめぐって

遠山啓

　本書は，遠山啓たちが唱えた「水道方式」についての他の教育学者たちからの批判に対して，遠山が再批判した論文が多く収められています。同じ民間教育団体のメンバーからも批判されていたのは知りませんでした。その分，遠山の再批判もきびしいものがあります。
　Ⅵ章でピアジェの紹介をしています。今じゃ，当たり前になったピアジェの論文も，このころは手に入らなかったんだですね。
　また，「解説」での山住正巳の指摘も興味深かったです。
　やはり，いい本は，いつ読んでも面白いなあ。
　それにしても，未だに，教科書の扱い方は中途半端なんだよなあ。

現代数学入門

遠山啓

群・体などの代数系や位相などの“構造を扱う数学”の方が理解しやすいと説き、いくつかの例について定理や証明をきちんと出しながら紹介している。実数や複素数などの計算法・応用例・いくつかの定理を知らないと抽象代数学を楽しむことなどできるはずは無いと思っていたから、著者の考えと説明の仕方には驚かされた。

数学の学び方・教え方

遠山啓

　小学校で習う算数は、当然、易しいものから難しいものへ、順序よく並べられているはずのものです。しかし、それがどういう理論で体系づけられ整理されているのか、あまり深く意識したことはありませんでした。

　今から実に３５年前に書かれたこの本では、その理論と体系を、水道方式の生みの親である遠山先生が、ずばり分かりやすく解説しています。

　序　章
　第１章　量
　第２章　数
　第３章　集合と論理
　第４章　空間と図形
　第５章　変数と関数

　序章では算数の特性に触れながら、黒表紙、緑表紙、水色表紙と呼ばれた古い教科書の話題などが出てきます。残念ながら当時の教科書は見たことがないのですが、今とどのように違っているのか、興味深い内容です。それにしても、今はカラフルなイラストを用いた表紙の教科書ばかりですが、当時は単色の表紙だったのでしょうか？

　私が一番興味深く読んだのは１章と２章です。量と数の関係がよく分かると同時に、新しい発見がいっぱいありました。また、今の教科書で学習する順序にも、ずいぶん反映されているように思いました。大学生の頃、外延量と内包量の話はいまいちピンと来なかったのですが、今読むとよく分かりました。

　第３章の集合の話は、当時算数教育に持ち込まれたばかりで、いわば旬の話題だったのだと思います。現在も集合の考え方が残っていないわけではありませんが、小学校算数の表舞台からは姿を消してしまいました。やはり難しすぎたのでしょう。私も読み進めるうちに頭が痛くなりました。

　第４章の空間と図形は、今の図形教育と大きく考え方が違って興味深いです。遠山先生の考え方で教科書を作るとすれば、どんな教科書になるのか、見てみたい気がします。

　最後は関数です。今の小学校では、関数についての学習が大幅に減らされてしまっているので、ぜひ今後の復活を期待したいと思います。

　全体的に見て、小学校の算数教育について多くの示唆を与えてくれます。今の流れとは違う部分も多いのですが、算数に興味がある小学校の教員であれば、ぜひ一読する価値のある本だと思います。かといって、教員以外には価値のない本という意味ではありません。算数の体系の全体像を眺め直すことで、新しい発見がきっとあると思います。チャンスがあれば、ぜひ手にとって眺めてみてください。

数学入門 上

遠山啓

本書では主に，数(実数，複素数)，代数，図形について解説している．
過去から現在に至るまでにこれらの数学の概念がなぜ誕生したのかその背景と目的が明確に書かれている．これは、自分がこれまでに読んだ数学の教養書では書かれていない内容であったので非常に興味深いものであった．
「もっと早く出会いたかった」と感じさせてくれる本でした．
下巻にも期待したい．

無限と連続

遠山啓

真の教養と呼ぶにふさわしい本。現代数学の道のりとは拡張、抽象化、妥当性の確認、不変量の発見を繰り返していたのか。数学的概念の真意を知る喜びがあった。

無限と連続

遠山啓

～とも言うべきだろう、という言い直しが多用されている。出発点と終着点とを入れ換えて高みを目指すスイッチバックが数学では頻繁に出てくるとのことだが、本書でも、言い換えで理解の高みを見せてくれる

1952年出版とは思えないほど、分かりやすい丁寧な書き方。良書

1部
集合は順序を破壊し、残った数の多さを比べる。そのとき、要素の数が無限だと計数することは無意味なので、要素の一対一対応によって集合間の多少を判定する。加算無限集合では、次元は関係なくなる。ヒルベルトの無限ホテル

2部
要素間に関係を定義する。群

3部
点、距離、閉集合、位相

4部
幾何、射影、平行線、長さ、角度、非ユークリッド幾何
4章はさすがに無理があって詭弁、と思いきや、アインシュタインの相対性理論の導出は同じ、となって感心する

1章は理解できたが、2章以下は何となく分かったぐらいなので、再読が必要

遠山啓のコペルニクスからニュートンまで

遠山啓

数学者遠山啓がその晩年に行った市民大学での連続講座を活字化したものである。コペルニクスからニュートン力学が完成するまでの歴史に沿って微分積分学と力学を解説している。
遠山啓はかつて大学時代に『無限と連続』を読んで感銘を受けた。すでに亡くなっていることを初めて知った。

本書は大判で挿絵が豊富で分かり易い。装丁も素敵だ。電子本では作れないテイストがある。こういう本を手に取ると紙の本もいいと思う。

本書が書かれた目的として次のように書かれている。

「元来、力学は数学と不可分の関係にあり、高校の数学の到達点ともいうべき微分積分、とくにその最高到達点ともいうべき微分方程式は、歴史的にいっても、力学を建設するためにニュートンによって発明されたものである。だから微分積分は、力学なしには新の意味を理解するはずがきないはずのものである。いっぽう、微分積分なしに力学、とくに動力学を使いこなすことはできない」(P.200 - 「あとがき」にかえて)

力学と微分積分学を結びつけて考えることは本当に意味がある。
自分も高校のときに物理学と数学を学んで、すごく腑に落ちた感じがしていたし、何か世界の成り立ちを初めて理解したような気分になった。

自分の子供がきちんとした物理学を学ぶようになったら読ませたい本だ。(もうすぐなんだよな)

数学入門 上

遠山啓

難しかったけど面白かった。上巻は、数字と図形について、その成り立ちや、よく知られている公式の証明がメイン。
数字について、まずは自然数から始まり、数学者たちがいろいろな問題にぶつかりながら、分数、負数、無理数と発見していき、終いには虚数を発見するに至った経緯が丁寧に記載されていてとても勉強になった。
特に複素数について、平面上（線状ではなく）に表現できるなんて知らなかったです。
学校でも、公式が生まれた経緯とか教えれば、数学が苦手な子が減るのでは、と思いました。