瀬山士郎のレビュー一覧

ぼくの算数絵日記

瀬山士郎 / タイガー立石

４年３組せやましろうくんの算数絵日記を読んでいると、あんまり好きじゃなかったはずの算数が楽しくなってくるから不思議。

・「兆」よりも「京」よりも大きい数の名前がこんなにいっぱいあるんだなあ。「無量大数」ってかっこいい・・・。

・たし算・かけ算対抗戦、楽しそう。やってみたい。自分ならどっちのチームに入ろうかな、やっぱりかけ算かな。

・「！（かいじょう）」ってすごい！　計算するかしないか、できるかできないかはともかく、見ているだけでなんかかっこいい。「５０のかいじょう（！）」なんて、びっくりだ。まさに「！」。

・なるほど。「あべこべの数」という考え方をすると、「プラスの数」と「マイナスの数」の意味が分かりやすくなるなあ。マイナスにマイナスをかけるとなんでプラスになるのか、すごくわかりやすかった。　「あべこべのあべこべで、もとにもどっちゃうんだ！」（P35）。ああ、この本、意味も分からず計算してた子どものころに読みたかったなあ。

とかとか、いろいろ思った。とにかく、「算数っておもしろいぞ！」（P40）という気持ちになる。算数が好きな人もきらいな人も読んでみてほしいな。

僕に方程式を教えてください 少年院の数学教室

高橋一雄 / 瀬山士郎 / 村尾博司

少年院における数学教育を通して、矯正教育の大切さと現状が語られた本。

本書は読むことで、少年院の状況や矯正教育の内容、そして、数学を学ぶ意義と教育の本質がよくわかります。

点と線の数学 ～グラフ理論と4色問題～

瀬山士郎

四色問題はコンピュータでしか今現在証明されていないが、この本を読んでいって五色問題の証明がなされたときは感動した。

読む数学

瀬山士郎

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虚数は存在しないという論調あるけど、そもそも虚数以前に実数ましてや正の整数ですら存在しないものらしい。これ聞いてやっと腑に落ちた。”数「3」が存在しているのではなく、存在してるのは数「3」で表現される何か”らしい。

算数→数学が本質的に変わったわけでないなら、高校数学→大学数学も本質的には変わるわけではないよね。やたら大学数学と高校数学は違うからとか脅す人いるけど。

瀬山士郎
1946年、群馬県生まれ。東京教育大学理学部数学科卒業。群馬大学教育学部教授を経て、放送大学群馬学習センター客員教授。数学教育協議会副委員長。専攻は位相幾何学(トポロジー)


「数」、いま 21 世紀の現在、私たちの生活は数抜きでは考えられません。 　朝、目覚めてから夜、床につくまで、生活のほとんどすべての場面で数が出てきます。「起床時間６時」はすでに数ですし、「２００６年４月１日」という日付もそうです。うれしい数字もあるでしょうし、いやな数字もあります。すぐに実感がわく数もあります（１０００円の買い物！）が、とても実感がわかない数（７００兆円の借金！　ちゃんと書くと７００００００００００００００円）もあります。 　このように、いま、人の生活は数で成り立っているといってもいいでしょう。

　位取り記数法とは、数を表す記号を、どの場所に書かれたかによって区別する方法です。同じ１という数字が表す数が、場所によって変わるということです。そのためには二つの大きな飛躍が必要でした。一つは、数えるものをいくつかに束ねることにより新しい単位をつくるということ、もう一つは空位を表す「０」の発見です。 　まず、束ねるということから考えましょう。複数のものを束ねて新しい単位をつくるとき、最初に問題になるのはいくつを束ねるかということです。人には指が 10 本あります。ここから、 10 個をひとまとめにする 10 進法 が発生しました。 10 進記数法では、 10 集まったらひとまとめにし、それがさらに 10 集まったらまたひとまとめにするという方法で数を数えていきます。

　ここにリンゴが一つもないということと、ここにリンゴが０個あるということが同じであることを理解するために、人はどれくらいの時間を費やしたことでしょう。しかし、位取り記数法ではその場所が空っぽであるなら、つまり 10 や１００の束がないなら、それを明記する必要があります。こうして０はなくてはならない数になりました。

こうしてモノの個数を表す数として自然数が発見されました。自然数は一つずつ、いくらでも大きくなっていきます。これで、この世の中にあるいろいろなものの多さを「数える」ことができるようになりました。このように自然数で「数える」ことができる量を 分離量 といいます。

　このように分数にはいくつかの意味があります。それが分数の理解を難しくしていますが、一方で、数学的な内容が豊富でおもしろい数でもあるのです。

　数学を専門に扱う人の中にも、虚数は存在しない数だという考えを助長するような発言をする人もいるのは困ったものです。曰く「こんなけったいな数など金輪際お目にかからない」、曰く「虚数なんて世の中にない数でしょ。そんなもの勉強して何になるんですか？」。

　もう一度言いましょう。実数だけが実在し、虚数は実在しないというのは迷信です。もし、数があるのかという問いかけに答えるのなら、いままで見てきたように数「３」だって存在はしません。存在しているのは数「３」で表現される何かです。 　-3 という数も実在の量としては存在しません。存在しているのはその量の状態です。実在しているとだれもが考える正の実数でも、無理数ともなるとその存在感は大変に不安定です。

ですから、実数が実在するというのもその意味では幻想です。私たちは小数点以下１兆桁などという数を扱うことができないし、計算することもできません。唯一、想像することだけができるのですが、もしかすると、想像さえもできないのかもしれませんね。

　では、虚数はどうして実在しないと思われてしまうのでしょう。迷信のよってたつ基盤は、次の点にあるのではないかと思われます。 「数は具体的な量を表さなければならない」。たしかに小学校以来、数はものの個数、長さ、体積など、具体的な量を表すのに使われました。しかし、前に述べたように、中学校で導入されたマイナスの数は、具体的なものの個数を表すことはないのです。-3 個のリンゴは実在しませんし、-5 人の人もいません。

　日本では、小学校の算数が、中学校では数学と名前を変えます。出世魚みたいですが、そのために急に難しくなったと感じる生徒も多いようです。 　しかし、算数と数学が本質的に違うわけではありません。 　算数とは、小学校で学ぶ数学のことです。どんな学問でもだんだんと難しくなるのは当たり前で、算数が数学と名前を変えた途端に学問としての性格を変えてしまったわけではないのです。

　　① 一般定数 としての文字……交換法則の記述のように、数一般などを表す 　　② 変数 としての文字……変化する数値を表す 　　③ 未知数 としての文字……特定の数ではあるが、いくつであるかわからないものを表す

「代数とはずるい数学だ」という言葉があるそうです。 　つまり、わかっていないのにわかっているふりをして、 とおいてしまう、ということ

この問題を最初に解決したのは、ノルウェーの若き数学者アーベル（１８０２─１８２９）です。 　さらにその結果を深化させ、「方程式が解けるとはどういうことか」に決定的な寄与をしたのが、フランスの天才ガロア（１８１１─１８３２）でした。この、決闘で 21 年の生涯を終えた数学者については、「神々の 愛 でにし人は 夭折 す」という言葉とともに、数学史に刻まれています。

このように、群の概念は、方程式の解全体のある種の対称性を分析する概念として、初めて数学に導入されました。しかし、群という構造それ自体が、数学の研究対象としてとても興味深いものです。

文字の使用は、小学校の数学と中学校の数学を分ける分水嶺の一つです。

このように、変化の法則を考えるとき、逆にこの変化の中で不変に保たれているものは何だろうか、と考えるのはとても大切なことです。名探偵シャーロック・ホームズは推理の過程で、この事件の中で変わらなかったことは何だろうかと考えて、事件の真相に迫ったことが何度もあります。 　この考えをさらに発展させて、数学では 不変量 というアイデアを考え出しました。

１次関数のグラフはすべて合同、２次関数のグラフはすべて相似でしたが、残念ながら３次以上の関数のグラフについてはそのような性質はありません。 　この関数の変化の様子を代数的な方法だけで分析するのは難しく、微分積分学という数学はそれを分析するために開発されてきたという側面を持っています。ここでは次のことに注意しましょう。

三角関数は、円運動に伴って現れるとても大切な関数です。この関数は、従来三角比の発展として考えられることが多く、それは幾何学的な理解としてとても大切なことですし、三角比は具体的な測量などとも関連して重要な考え方です。 　しかし、関数としての側面は、三角形より円運動に関連して考えたほうが考えやすいと思います。 　すなわち、三角関数を単位円周上の点の位置を表す関数と考えます。そのために、半径１の円（これを 単位円 という）の上の点について、その位置を数値として表す方法を考えなければなりません。 　その一つの方法が ラジアン という単位です。

数学の理解には、特殊な例を積み重ねて一般の概念に到達する場合と、一般の場合を先に考えて、その特殊な場合として個別の例を考える場合とがあり、それは題材によって違ってきます。 「問題が難しければ一般化せよ」とは、数学者ジョージ・ポリアの逆説的な名言です。

さて、いままでに見てきた関数を振り返ってみると、扱ったのは多項式関数、指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数でした。 　多項式関数をわり算することで、分数関数が出てきます。また、 乗根を用いると無理関数が出てきます。 　多項式関数、分数関数、無理関数の逆関数は同じ仲間の関数、多項式関数、分数関数、無理関数になります。 　指数関数と対数関数は互いに逆関数でしたし、三角関数と逆三角関数も互いに逆関数です。つまり、これらの関数たちはまとまって一つの世界を形作っています。 　これらの関数をまとめて 初等関数 といいます。 　とくに多項式関数、分数関数、無理関数をまとめて 代数関数 といい、指数、対数、三角、逆三角の各関数を 初等超越関数 といいます。

関数の値を具体的に計算する一つの手がかりを与えてくれるのが 微分 です。 　ところで、微分という数学の最も特徴的なことは、微分が加減乗除という四則演算だけでなく、極限という五則めの演算を扱うということです。

高等学校で極限を学ぶと、この等式が理解できるはずですが、それでも多くの高校生が0.9999……と１の間に、わずかな隙間（違い）があると感じるようです。 　これを、「じゃんけんはあと出しが勝ち！」方式の極限で考えてみましょう。わずかな隙間があると考える高校生が先手で、こちらが後手です。

微分積分学では、指数関数や対数関数は、普通はこの底 を使います。 　 対数関数は、指数関数の逆関数です。微分積分学では、 の指数関数の逆関数を 自然対数 といい、 と書きます。つまり、「」（第３章参照）です。 　この右辺の関数の微分をつくれば（ とが入れ替わっていても、微分は同じように考えればよい）、 の についての導関数がであることに注意すると、 です。

関数をブラックボックスと考えるのはとても有効な考え方ですが、多項式関数の場合はブラックではなく、その仕組みがよくわかっている関数なのです。ですから、多項式関数のわり算の形で表される分数関数も、関数の値を計算することができます。

ゼロから学ぶ数学の１、２、３

瀬山士郎

疑問が解けたー！　−×−＝+ になる理由。
分数の割り算は、何故逆さまにして計算するのか。分からないまんまにしてたのがこれでスッキリ！

僕に方程式を教えてください 少年院の数学教室

高橋一雄 / 瀬山士郎 / 村尾博司

少年院の子供たちに、数学を通して人生を取り戻す手伝いをする先生方の話。
そもそも、大人のせいで取りこぼされた子供たち。
関わる大人たちの熱意と、学ぶことで変わっていく子供たちに感動した。
人生において抽象的な概念が重要だということもなんとなく分かったような気がして、自分が高校生まで学んだ数学も無駄ではなかった⁉️

僕に方程式を教えてください 少年院の数学教室

高橋一雄 / 瀬山士郎 / 村尾博司

少年院で教える数学。機会少なく学校からドロップアウトした少年たち。数学教室を通じた高認等の更生への可能性。

自費出版し余った著作を少年院に、寄贈したことから始まった、少年院での数学教室。入院時期も年齢も学歴もバラバラな少年院たちを教えるのに選んだのが、方程式を教えること。

数学自体の魅力と少年院での矯正教育の可能性。

本書は感動に満ち溢れている。生きること、学ぶこと、失敗から立ち直ること。多くの示唆に富んだ一冊。

僕に方程式を教えてください 少年院の数学教室

高橋一雄 / 瀬山士郎 / 村尾博司

数学教師志望の私からすると、とても学びの多い本でした。

どちらかというと、数学というよりかは少年院にフォーカスした内容でしたが、勉強を教えることを通して子供に関わる人なら呼んでほしい1冊です。

数学が子どもたちの可能性を広げていく様子から数学の「凄さ」のようなものを再確認できました。少年院にいる子どもたちは必ずと言っていいほど事情を抱えていますが、もちろん、公立や私立などの学校にも事情をかかえ、この本に載っているような教育・授業・先生が必要だと思います。

頭にしみこむ微分積分

瀬山士郎

微分積分の復習のために選んだ本。「計算の意味を理解することが大切」という著者の主張通りの内容となっています。また、各章とも説明文、重要なポイント、数式の分量のバランスが良く、読みやすかったです。
章立ても読みやすいように工夫されていて、第一部は概論、第二部は証明が主となっています。
* 最初に微分学が対象とする、基本的な関数についての説明（7つの初等関数）
* 関数の演算（四則と合成）ルールの説明
* 微分するとはどういうことなのか？誤差をどの程度に抑えたいか？という視点（イプシロンデルタ論法）
* 7つの初等関数の導関数を求め方
* テイラーの定理を使った関数（無理関数、指数、対数関数など）の値の求め方
* 積分計算。
* 9章以降は、斜め読みで終わったけど、第一部を掘り下げた内容

読むトポロジー

瀬山士郎

トポロジーは不思議だ。
なんのための学問なのかよくわからない。

でも、「形をつながり方という視点で見ること」というのは面白い。だから、憧れるのだけども、こういう感覚は若いうちに獲得しないと難しいのかもしれない。

メビウスの輪には、裏表がない、というのは、ふーん、という感じでもはや慣れ親しんだ事実であるが、厚みのないメビウスの輪に限らず、そもそも平面には裏表はなく、そういう意味でメビウスの輪が特徴的なのは、左右が決められない、「向き付け不可能」というのには驚く。そうか、そういうことになるのか。クライン管は、メビウスの輪をふたつ貼り合わせたもの、というのも、まじかーと驚く。ホモロジー、ホモトピーという、切ったり縮めたり、というのも、頭の中で想像して心地よい。

しっかり勉強するにはちょっと大変なので、こういうのをキッカケに想像を膨らましていって、どこかでちゃんと勉強したい。人生が500年あれば、、、。

読む数学

瀬山士郎

数と計算、文字と方程式、関数、微分と積分、形と幾何学・・・これらについて、わかりやすく面白く書かれていて、久しぶりに夢中になって読書した。
　特に、マイナス×マイナスがどうしてプラスになるのか、数学好きだったと言われるスタンダールの言葉「どうして借金×借金が財産になるのか」の間違いを指摘しているところや、「虚数なんて世の中にない数でしょ。そんなもの勉強して何になるんですか。」といった高校生の言葉に対する著者の考えを述べている所は面白かった。
　さらに、テーラー展開、ロルの定理、マクローリン展開が微分のところでどういうふうに役立っているのかもわかりやすく書かれていた。
　一番面白かったのは、オイラーの公式のところだった。

数学記号を読む辞典

瀬山士郎

挫折した数学記号をおさらい
その本質を理解する
中学校から大学初頭の数式を体系的に学べる。
式がどう実用的に役立つかを取り上げていないのでありがたさが伝わらない。

テイラー展開は説明を省略しており、ついていけなかった。

はじめてのトポロジー つながり方の幾何学

瀬山士郎

とてもわかりやすく面白い本です。「もののかたち」をいかに数学という形式に落としこんでいるのか、そのアイデア・イメージがとてもよく分かりました。私は数学は専門ではありませんが、これからトポロジーを学ぶ人や興味のある人は、この本から入っていくとよいのではないでしょうか。

はじめてのトポロジー つながり方の幾何学

瀬山士郎

［　内容　］
現代数学のひとつ、「トポロジー」とはなんでしょうか。
それは、形の見方を変えることから始まります。
三角形と円を同じと見る、コーヒーカップとドーナツを同じと見る、そんな幾何学が誕生したのです。
なぜ数学者たちはそんな発想をしたのでしょうか。
本書は、そうした不思議な形の冒険の旅に案内します。
図版を多用して、一筆書きからメビウスの帯やクラインの壷、ポアンカレ予想まで、パズル感覚で説いていきます。
気がつけば読者は、４次元空間の「迷宮の旅」へ迷いこみます。

［　目次　］
第１章　形とはなんだろうか
第２章　つながり方の幾何学
第３章　曲線のトポロジー―オイラー・ポアンカレの定理
第４章　曲面のトポロジー―曲面を設計する
第５章　曲面のホモロジーとホモトピー
第６章　次元を超えて
第７章　いろいろな話題

［　ＰＯＰ　］


［　おすすめ度　］

☆☆☆☆☆☆☆　おすすめ度
☆☆☆☆☆☆☆　文章
☆☆☆☆☆☆☆　ストーリー
☆☆☆☆☆☆☆　メッセージ性
☆☆☆☆☆☆☆　冒険性
☆☆☆☆☆☆☆　読後の個人的な満足度
共感度（空振り三振・一部・参った！）
読書の速度（時間がかかった・普通・一気に読んだ）

［　関連図書　］


［　参考となる書評　］

なっとくする集合・位相

瀬山士郎

高校のころよく理解できなかったせいか，ちょっと苦手意識がありました．この本は高校レベルから丁寧に書いてあって，暗算で追えるような例題もついていて，読みやすかったです．有限，可算無限，不可算無限の概念をこの本で理解しました．無限にも大きな無限と小さな無限があるんだと理解できたときはちょっと感動でした．

僕に方程式を教えてください 少年院の数学教室

高橋一雄 / 瀬山士郎 / 村尾博司

タイトルに惹かれてなんとなく読んでみた。少年院についての知る機会がなかったため少年院で行われている教育、意義や必要性を知ることができた。今まで学校の数学教育についてにしか触れてこなかったため少年矯正のための数学については面白く感じた。正直第Ⅱ章の数学の解説の文章は難しくてなんとなくで読み進めてしまったが(笑)、全体的に興味深く読むことができました

読むトポロジー

瀬山士郎

『トポロジー:柔らかい幾何学』のようなトポロジーの初歩的た内容を縦書きで説明できるように簡略化した内容，数学書の息抜きとしてはちょうど良いが。

僕に方程式を教えてください 少年院の数学教室

高橋一雄 / 瀬山士郎 / 村尾博司

少年院の様子と、頑張っている少年の姿にはウルルとちょっと目にきました。少年含め職員の方は頑張ってほしいと思いました。

僕に方程式を教えてください 少年院の数学教室

高橋一雄 / 瀬山士郎 / 村尾博司

矯正教育が行われる少年院で、外部教職員である筆者たちが少年院の子どもたちに数学を通して、抽象的概念や自問する癖を付けさせるまでの活動をまとめた本。
閉鎖的な少年院を切り開き、その数学を教えることで学ぶことや考えることの本質を伝えた著者たちのバイタリティには感心する。
義務教育で抜け落ちてしまった少年たちの学力は高校生の年齢で国語は中３、数学は小６という名古屋の矯正管区の調査でわかったというのも、やはり現在の義務教育下における指導の難しさが如実に表れているのではないか。３０〜４０人の子どもたちの個性をひとりひとり向き合っている学校教諭の方々への努力はとてつもないが、ひとりでも抜け落ちてしまうことが不遇へと繋がり、少なからず不幸な子や家庭を作ってしまっている事実に目を向けなくてはいけない。
そんな子どもと自分がどう付き合っていくか、できることを考えたい。

僕に方程式を教えてください 少年院の数学教室

高橋一雄 / 瀬山士郎 / 村尾博司

ケーキの切れない非行少年たちが印象深かったので、本書も読んでみた。

一般的なビジネスでは四則計算など簿記で使うもので十分と思っていたが、第2部の数学は抽象的な考えを育むものという考えは目から鱗が落ちた。

また、更生しても周りの環境で戻ってしまう第1部の記述にも考えさせられた。

本書を読むと、数学は役に立たないとは言えなくなると思う。