加藤文元のレビュー一覧

数学する精神 増補版 正しさの創造、美しさの発見

加藤文元

もっと読みやすいかと思っていたが、意外と飛ばしているところがあった。素早く２週間で書いたというだけあって、数学好きにはいいのかもしれない。

ガロア 天才数学者の生涯

加藤文元

偉大な数学者ガロアの物語。数学者というと、静かな書斎で一人黙々と計算をしているイメージがありますが、彼は違いますね。波乱万丈の生涯でありました。数学を学んでわずか数年の若者が、それまでの数学にない新しい概念を生み出せたことにビックリします。ガロアは、レ・ミゼラブルと同時代の人なんですね。

物語 数学の歴史 正しさへの挑戦

加藤文元

紀元前のユークリッド「原論」やアルキメデスからフェルマーや現代の研究者までの数学の歴史について記したもの。簡潔にまとめられているが、素人には内容が難しい。特に近代の数学の理論は理解できなかった。印象的な記述を記す。
「ユークリッド「原論」」
「アルキメデス」
「フィボナッチ数列（ウサギの繁殖行動）
　１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５．．
　隣り合うフィボナッチ数の比
　Φ＝１＋１／　１＋１／　１＋１／１＋．．．＝１＋１／Φ
　　＝１＋√５／２
　　＝１．６１８０３３９８９．．．（黄金比）」
「オイラーのゼータ関数
　１／１※2　＋１／２※2　＋１／３※2　＋１／４※2　＋．．．＋１／ｎ※2　＝π※2／６」

物語 数学の歴史 正しさへの挑戦

加藤文元

　「古代ギリシャ世界から始まり、中世アラビア世界を経由して、その後ヨーロッパ世界に流入」(p.i)する「西洋数学」の流れ、そして「古代中国に起源を発し、近世以降の日本に和算という独特の数学の伝統をもたらした」(同）「東洋数学」の流れについて概説し、その２つが統合されていきつつある「現代の数学」について述べられている。
　数学の門外漢が読むと、ほとんど理解不能な部分もあったが、そのエッセンスというか、ある枠組みが取っ払われてもう１つの枠組みが構築されていく様子が、まるでミステリーのどんでん返しのような感じがして、面白いと思った。
　まず数学には「『計算する』という数学の形式的側面と、図形を『見る』という直観的側面」(pp.15-6)の２つの側面があって、いわば縦糸と横糸のような２本がどう織り合わされていくのか、といった面があるということに気付かされた。これに符号するように、本書のサブタイトルである「正しさへの挑戦」に示されている「正しさ」というのが「知性的な精神活動であるという側面と、感性による受け入れという側面」(p.34)があり、長い引用になってしまうが、「数学するという行為においては、直観の重要性はいくら強調しても強調しすぎることはない。数学の進化とは、正しさの直観能力の進化である。それは人間の悟性が、より抽象的な世界の中に新たな正しさを見出すことである。そして数学における抽象化とは、対象やパターンに対する意図的な健忘を通して、人間の感性を洗練することに他ならない。」(pp.34-5)という部分は、おそらく数学を研究する上で心得ておくべき大事な部分、というか数学の持つ「美しさ」を発見する上で必要な認識なんだろうなと思った。数学に限らずすべての自然科学、あるいはそれをモデルとした諸分野で、こういった感性を研ぎ澄ます必要があるのではないかと思った。逆に緻密な演繹的作業が行われていても、感覚的に違うと思うような理論は、全人類的な学問にはならないんじゃないかとも思った。
　議論からは逸れてしまうが、なぜ古代ギリシャ人が色んなことを思いついたのか、というあたりの説明が面白い(pp.76-8)。要するにヒマだったから、とか計算が苦手だったから、と説明されている。ヒマな人たちがいないと哲学に帰結されるような学問は発展しないのかな、と思ってみたり。
　具体的な数学の話としては、やっぱり微分の話が面白い。微分というと、単にグラフ書いて接線の式を求めるとか、そういう作業的なものという意識がおれには強いが、要するに「運動の瞬間速度を求めることと、函数のグラフの接線を求めることは、同じ数学的現象を二通りに言い表したものに過ぎない。どちらも『変化率』、つまり変化の割合が問題となっているからだ。」(p.129)のあたりが、面白い。どんな曲線もある１点から極めて微細な距離を持った点までは直線なんじゃないか、という。そもそも点という概念の難しさや、極めて微細な、というあたりの、限りなくゼロ、無限、という概念が数学の中の大きなトピックになっているように思えた。
　また、やっぱり非ユークリッド幾何学の発見、というのはよく分からないけどすごいと思った。平行線は交わる、という考えを積極的に認めようとする理論なんて、凡人には思いが至らない。
　というように、よくは分からないけど、数学の発展の歴史を概観しながら、数学とはどういうことをどういう風に考えるものなのかということをそれなりに知ることはできる有益な本だった。よく言うことではあるけど、こういうことを理解していれば高校の数学はもっと面白いと思ったかもしれない、という月並みな感想を持った。（15/01/2-）

物語 数学の歴史 正しさへの挑戦

加藤文元

19世紀以降の数学については理論の名前だけ挙げて「難しいから詳細を知りたい人は自分で調べてね」というスタンス。
西洋数学と東洋数学という対比もお題目として挙げただけで尻切れトンボ。
現代数学につながる大まかな流れはわかるにはわかったが構成については疑問を感じずにいられなかった。