零の発見 数学の生い立ち

吉田洋一

インドにおける零の発見は、人類文化史上に巨大な一歩をしるしたものといえる。その事実および背景から説き起こし、エジプト、ギリシャ、ローマなどにおける数を書き表わすためのさまざまな工夫、ソロバンや計算尺の意義にもふれながら、数学と計算法の発達の跡をきわめて平明に語った、数の世界への楽しい道案内書。

• カテゴリ: ビジネス・実用
• ジャンル: 学術・語学 / 理工
• 出版社: 岩波書店
• 掲載誌・レーベル: 岩波新書
• ページ数: 194ページ
• 電子版発売日: 2015年12月03日
• コンテンツ形式: XMDF
• サイズ(目安): 3MB

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初版は1939年、私が手にしたのは2024年1月の第119刷でした。
零の発見
直線を切る
という2つのお話です。
零と連続という数学の根本的な概念が読み物として語られています。
最後のほうは難しくて良くわからなかったですが、数学ってほんとうに果てしないなと思いました。

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吉田洋一
1898年東京生まれ。1989年逝去。東京帝国大学理学部数学科卒業。第一高等学校教授、東京帝国大学助教授、フランス留学を経て1930年北海道帝国大学教授。1949年立教大学理学部数学科教授。著書：『零の発見』、『微分積分学序説』他多数。M&Sでも『微分積分学』、『ルベグ積分』、『数学序説』(娘婿の赤摂也と共著)を収録。


こんにちのように、自然科学が進歩し、また、産業が異常な発達を見た世の中にあっては、必然的に厖大な数を取扱う場合が多く、インド記数法は一日も欠くべからざるものとなった。あるいは、そういうよりも、インド記数法なくしてはこんにちの科学文明はもたらされえなかったと考える方が、むしろ、適切であるかも知れない。

形式的な考えかたというけれども、形式的であるところが実は数学の特徴なのであって、これがなかったならば、こんにちの数学の進歩はえられなかったろう、といっても過言ではないのである。代数学がギリシァで発達しなかったことについては、さきにものべたギリシァ数字の影響も無視することはできないが、一つにはまたギリシァ人の数に対する考えかたが、ある意味で、きわめて具体的であって、代数学のような形式的方面には向かなかったということも、その理由として考えられているのである。

ギリシァ時代に零が発見されなかったのはなぜであるか、という疑問に対しても、いまのギリシァ数学の具体性ということを理由の一つとして数えることができるであろう。ところで、それならば、とくにインドにおいて零の概念の発達を見たのはなぜであるか、ということが当然問題になるのであるが、こういう種類の問題に対しては明快な答を期待しうべくもないことは最初から明らかであろう。なかには、これを「空」というようなインドの哲学思想と結びつけて考えようとしている人もないではないが、これは、はたして、いかがなものであろうか。こういう高遠な考えかたは、ただ興味だけを中心とした見地からは、捨てがたい味があるにしても、とうてい問題の本質に多くの光を投げえないのではないか、と思われるのである。

十三世紀も終りに近づくにしたがって、イタリアの諸都市においてはインド記数法がようやく日常の用に供せられはじめたらしい。その一つの証拠をわれわれは一二九九年に発せられたフィレンツェ政府の布告において見ることができる。

地味ゆたかな流域を擁するアルノ河にまたがって「花の都」の称をえたフィレンツェは、十字軍の影響その他のためにヨーロッパの商業が活発になってくるとともに、しだいにその繁栄を加えてきた都市であって、十三世紀にはヨーロッパにおける産業および金融の一大中心となるほどの成長をとげた。この都市に銀行業をいとなむ者の数が、このころ、すでに二十二家に達していたという事実からもその繁栄の度をうかがうことができるであろう。こうした銀行業者たちのなかには、この世紀の終りごろにいたって、簿記の記入にインド記数法を採用するものが現れてきた。前記の布告は、すなわち、この新しい数字の使用を禁止しようとする趣旨のものであったのである。

西洋の数学はギリシァにおこり、ギリシァの数学はピュタゴラスにはじまる、といわれる。 　もとより、ギリシァの数学とても、忽然として無から生まれでたものではなく、またピュタゴラス以前に数学に心をひそめたギリシァ人が全然いなかったわけでは決してなかった。 　ナイル河の流域に幾千年の文化を築き上げたエジプト人は、ギリシァ人にさきだって、すでにかなりの程度の計算術と幾何学的知識とをもっていた。

もっとも、近ごろになって、バビロニアの数学が全然経験だけの産物であるということに対しては、疑いをもつ人が出てきた。彼らは、たとえば、二次方程式の解法その他の代数学的知識を心得ていたのであるが、こういう種類の複雑な公式類が思いつきや経験だけで得られるとは考えられない、どうしても、複雑なものを一歩一歩単純なものに還元していく方法によって得たものと見るべきで、もしそうならば、これはすなわち単純なものを出発点として複雑なものの証明をおこなったということにほかならない、というのである。また、ギリシァ数学の文献が多くは失われて、いま残っているものはそのきわめて小部分だけに過ぎないことはよく知られてはいることであるが、バビロニアの数学の文献はこれにくらべて、さらに、はるかに乏しいことを考えて見なければならない、すなわち、現在えられた材料だけでバビロニア人が「証明」を知らなかったとにわかに断定もできまい、というのである。

なお、バビロニアの数学は天文学と密接に結びついて発達したという説が一般におこなわれているが、最近の研究によればバビロニアにおいては計量的天文学が出現するに先だって、久しい以前に「純粋数学」がすでに高度の発達の段階にあったことが明らかになってきた。このことは、バビロニアの数学が実用向き一点張りの「技術」に過ぎなかったと断言するのはすこしく早計であることを示すものであろう。

ここにいう態度の相違がいかなるものであるかは、ここにこれを詳説するいとまがないが、きわめて大ざっぱないいあらわし方をすれば、ギリシァ人は、数学的事実 たとえば、ユークリッド幾何学における諸定理 は数学者がこれを発見するに先だって、すでにそれ自身存在しているものと考えていた、これに反して、現代では、数学的事実は、ポアンカレのいったように、「数学者自身が 時として数学者の気まぐれがこれを創造する」のであると考えられている、ということができるであろう。とくに幾何学についていえば、ギリシァ人にとっては、真の空間はただ一つ与えられたものであって、ユークリッド幾何学はその空間の性質を演繹的方法によって記述しようとするものであった。しかるに、現代の考えかたからすれば、ユークリッドの空間以外にいくらでもちがった構造をもつ「空間」を創造しうるのであって、そのいずれが真の空間であるかということは意味がない、ただし、考察の範囲を日常の経験にとどめておくかぎりにおいては、ユークリッドの空間をもちいることがもっとも便利である、というだけのことになるのである。こうなってくると、こんにちの幾何学は、ユークリッド幾何学がその内部において多大の進歩をとげたという程度のものと見るべきではなくして、そこに幾何学的なものにたいする態度の上に革命的な飛躍があったと考えなくてはならないであろう。

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ゼロのおかげでN進法が使えるようになるなんて革命的な出来事です。世界はやがて、0、1の二つで表せるようになろうとは、当時のインド人も考えもしなかったとおもいます。ありがとう、インド人。

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（2018年1月のブログ内容を2020年11月に転記したものです）

○　インドとギリシャの数のかぞえかた

零はインドで発見されたというのはよく知られていることですが、興味があり、詳しく読もうと手に取りました。

私たちが何気なく行っている数の計算にも実は長い歴史がありますが、その歴史の中で、「位取り記数法」という考えに至るのにとても長い時間が必要だったことが書かれています。わたしたちが２７５２９と書くとき、1番初めの２は２００００を表すのに対し、４番目の２は２０を表しています。同じ記号で２種類の数字を表しているのです。言われてみればそうですが、あまりにも普段自然に使いすぎているので、これを読んだときなるほどと思いました。BC五世紀の古代ギリシャでは

M(β)　,ζ　φ　κ　θ　(M(β)は (Mの上にβ))

と書いたそうです。ここでは２００００はM(β)、２０はκと書かれています。２７０２９であれば

M(β)　,ζ　κ　θ

となるでしょう。１瞬４ケタの数かなと思ってしまいますが、２７２９であれば、

,β　ψ　κ　θ

となります。２００００と２０００と２０にはそれぞれ別の文字が割り当てられているのです。これは当時の数字が計算のためのものではなく、そろばんなどの道具で行った計算結果を記録しておくための道具だったことに起因するようです。

インドでなぜ、それとは逆に、０を置くことによる位取りが行われていたかということには諸説あり、本書でも明確にはしていませんが、インドでは数を郵便番号や電話番号のように順に読んでいく流儀があったことも原因のひとつではないかといっています。２７５２９であれば

２アユタス　７サハスラ　５シァタ　２ダシァン　９

と読んだようです。これは現代日本で

２マン　７セン　５ヒャク　２ジュウ　９

と読むのに似ていますね。

このような読み方をすると必然的に空位(０)という概念が出てくるのではないか、というのは面白い考察だと思います。


○　数の概念の拡張

さて、０の発見だけにとどまらず、数が自然数から実数まで拡張していく歴史も述べられています。これこそ本書の中心ではないでしょうか。


本文を一部引用します。

“ギリシァ人は、数学的事実――たとえば、ユークリッド幾何学における諸定理――は数学者がこれを発見するに先立って、すでにそれ自身存在しているものと考えていた、これに反して、現代では、数学的事実は、ポアンカレのいったように、「数学者自身が――時として数学者の気まぐれがこれを創造する」のであると考えられている”

人間のこころを説明するためのワードも、そのような飛躍が必要なのかもしれません。自然数(有理数の一部)から無理数への飛躍、これは離散から連続への飛躍でもあります。特に性に関して述べるとするならば、男女という枠組みから脱して様々な分類がなされていますが、これらは全て離散的な概念であり、連続的な性という考え方を持っている人は、少ないのではないでしょうか。真実は後世にまかせるとしても、そのようなことを考察するには十分な価値があるように思えます。そのために、数学の歴史というのは一つのロールモデルになるのではないでしょうか。

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［偉大なる発想の跳躍］現代においてはあまりにその存在が普通であり、それが発見されたことすら想像がつかない数字、０。その数字が発見される以前はどのようにして計算や表記がなされていたのかを学びながら、０が数学に与えた影響やそのすごさについて知ることのできる作品です。古代ギリシャ人たちの数学に対する挑戦を記した「直線を切る」も収録。著者は、数学へのやんわりとした興味に応えることを目的として本書を記したとしている吉田祥一。


初版から70年以上が経過しても読まれているというだけあり、数学嫌いの人に対してもわかりやすく、そして興味を喚起させるように説明が進められています。０の概念なんて言われてしまうとつい肩肘が張ってしまうのですが、歴史的な流れの中でどのような影響をもたらしたかなど、数学に関する歴史を紐解きながら話が組み立てられているので、なるほどと思いながら、また楽しみながら０の世界に浸ることができるかと思います。


本書の主な内容とは大きく関係しないのですが、ある程度昔の作品を手に取って面白いなと感じるのは、当時の最先端技術の紹介とその発展の見通しを述べるような箇所。本書ではコンピュータ（というより計算機）についての改訂がなされているのですが、その発展の見通しが（語弊があるかもしれませんが）大甘で、それが逆に発展のスピードの凄まじさを結果として際立たせているように思えました。

〜それにしても、零の発見という画期的な事業をなしとげた無名のインド人は、その発見がこんにちのように、全世界に恩択を与える日があろうことを夢にも考えたことがあるであろうか。昔といまとを問わず、みずから画期的な誇称した事業が真の意味で画期的であったためしはあまりこれを聞かないようである。〜

単なる計算が嫌いな方にはぜひ☆5つ

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数学が抱えていた基礎部分への挑戦の軌跡を著述。零の発見についてはほぼ何も書いてないに等しいが、歴史的、数学的興味は尽きない内容だ。

記数法の確立に零が果たした役割、数値計算上の対数の威力、無限級数の和を扱う上での注意、
幾何と代数の統一、有理数、無理数、超越数（代数的数）の自然な定義、連続性への探求。

どれも興味深いテーマであった。自然に本格数学への入り口に誘われた感じだ。

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昔に書かれた本とは思えないぐらい今読んでも新鮮で面白い。
前書きに、病院で執筆したので、資料がないというような事を書いていたような覚えがあるけれど、もしそうだとしたら凄い知識の量。流石。
結論に至るまでの世界史の紹介が楽しく、読みやすいです。内容は難しい（２章）

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数学の古典だけど、現代の数学的常識がいかにして培われてきたのかを悠々と説いた逸品。本のタイトルと同じセクションとは別にもう一つ「直線を切る―連続の問題―」というセクションがあって、個人的にはこちらの方が面白かったです。論理をとるか、信条をとるか。信じられなくても論理的に正しいものを受け入れられるか、そこに学問的発展の境界があったようです。そう言えば、物理学者の益川さんも似たようなことを言ってました。

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数と計算の歴史。後半は幾何学、連続性。社会的背景も多め。哲学的。

初版は1939年。改版によりコンピュータの２進数についても言及。
C0241

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何十年も前に書かれたとは思えない、今読んでも新鮮な文章。
取っ付きにくいかと思ったけれど分かりやすい分で読みやすい。
後ちょっとで読み終わります。
学校数学はアレルギーですが文学としての数学は好きです。