数学ガール／ゲーデルの不完全性定理

結城浩

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数学って不完全だったの?」20世紀の数学と哲学に大きな衝撃と影響を与えた「ゲーデルの不完全性定理」とは? 「僕」と3人の少女が、「不完全性定理」の真実に迫る、魅惑の数学物語。
本書『数学ガール/ゲーデルの不完全性定理』では、不完全性定理の意味を理解するため、集合と論理を基礎からていねいに学びます。

本書で取り扱う題材は、「正直者は誰?」「0.999…は1に等しいか」といったクイズ的なものから、「数学的帰納法」「ペアノの公理」
「イプシロン・デルタ論法」「公理と定理」「数学における証明とは何か」「無限」といった深いテーマまで、多岐にわたります。

前著同様、僕と、三人の数学ガール(天才少女ミルカさん、元気少女テトラちゃん、妹キャラのユーリ)が大活躍します。

前著の読者はいうまでもなく、「ゲーデルの不完全性定理」に関心をもつ読者や、数学愛好家など、
すべての数学ファンにとって、最良の一冊です。

• カテゴリ: ビジネス・実用
• ジャンル: 学術・語学 / 理工
• 出版社: SBクリエイティブ
• 掲載誌・レーベル: 数学ガール
• シリーズ: 数学ガールシリーズ
• タイトル: 数学ガール／ゲーデルの不完全性定理
• タイトルID: 251088
• ページ数: 408ページ
• 電子版発売日: 2014年03月14日
• コンテンツ形式: EPUB
• サイズ(目安): 154MB

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誤解されやすい「不完全性定理」について、わかりやすく書かれているが、第10章の定義が続くところはつらかった。ここはなんとかならなかったものかと思う。

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第9章までの記述は素晴らしい。第10章の不完全性定理の証明のところが端折りすぎでは？理解がまったく追いつかなかった。

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大学時代にこの本に出会いたかった。不完全性定理の話題に入る前と後で内容の難易度が桁違いに上がって深い理解は諦めざるを得なかった。

「ビジネスマンたるものゲーデルの不完全性定理ぐらい抑えておくべし」という文句に煽動された心は幾分か落ち着いた。天変地異の大元になりそうという不安は多かれ少なかれ誇大妄想だったことが分かった。

「'現代まで使われてきた理論はいずれ限界を迎えるらしい'ことに気付けている自分」というある種のナルシズムが増強された以外に何を得られているだろう、、オツムが足りない(T . T)

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半分も理解できなかったけど、ゲーデルの不完全性定理の全体像を描いてくれてて、頑張って理解しようと思わせる内容でした。

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萌えるのが恐くて今まで我慢してきたが、とあるビブリオバトルで紹介されるのを聞いて、ついパンドラの箱を開けてしまった。
これはいかん、忘れていた萌えの要素がある。ツンデレのミルカさんのセリフにいちいち反応してしまう。

そういうお楽しみ要素とは別に、数学部分も分かりやすい。不完全性定理は、その数学以外への意義、影響はいろいろ読んでいたが、数学の部分は全然分からず、岩波の有名な本で挫折していた。
しかし何とこの萌え萌えライトノベルで、挫折ポイントを越えられた。もちろん、証明は不十分。表現定理が所与の定理になっているが、それでも全体像がわかったので、再び岩波の証明に挑戦する勇気が持てた。

結城さんの、分かりやすく説明する技術は凄い。頭の中で切り替えが必要な所を丁寧に押さえているから、新しい概念に入りやすいのだと思う。

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数学ガールもやっと３巻まで読めたァ（＾－＾）

今回の定理も難しかったけど、みんなと一緒に理解できたのでちょっとは分かったかな？
４巻も楽しみです(*^。^*)

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　不完全性定理の証明にリベンジ。証明はゲーデルの論文に沿っていて，結構詳しい。定理の意義も解説。「数学の限界」だとか「理性の限界」という理解は間違っていることを易しく示してくれる。
　数学の定理であるゲーデルの不完全性定理が，理性の限界など証明するわけない，ていうのはまあ当たり前だよね…。深読みしすぎ…。というか，この俗説って論理学・数学の素養のないいい加減な文系知識人がまき散らしてきたデマなんじゃなかろうかね。
　証明の骨子は次のとおり。
１．形式的体系Ｐの基本記号・公理・推論規則を定める。
２．Ｐの基本記号と列に数を割り当てる「ゲーデル数」を導入。
３．原始再帰的述語を定義し，表現定理を紹介。
４．算術的述語から証明可能性述語まで４６個の関数を定義。
５．以上から決定不可能な文（ゲーデル文）を構築。
　原始再帰的関数の満たす諸性質の導出とか，表現定理の証明については触れられていないけど，かなり詳しくゲーデルの証明を追えるようになっている。これはすごいと思う。第一だけでなく第二不完全性定理まで。

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"ε-δ論法"の説明がとても分かりやすかったです。

それから、《重なるペア》の話がものすごく良い。『数学ガール』の本質を表している話だと思いました。

さて、タイトルにある「ゲーデルの不完全性定理」ですが、第1章にいわゆる「クレタ人の嘘つき問題」の亜流が載っていたので『理性の限界』のような理解のさせ方をするのかなと思って読んでいたのですが、その予想は見事に裏切られ、きっちりと証明してくれました。

うーん。一読しただけの今はまだちゃんと理解できていないけどすごいことだと思います。

それから、テスト関連の人は、数学で言うところの「同値関係」の説明がしっかり書いてあるので抑えておくと良いかもしれません。

ということで、お勧めです。

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ゲーデルの不完全性定理を勉強しようと思い、事前知識をつけるために読んでみました。青春小説数学書という異色の本ですが、そのおかげかわかりやすくなっていました。「ん？」と思うところは、ちゃんと登場人物がつまづいてくれて、いい感じでフォローが入っています（笑）ただ、おわり７０ページほどが、それ以前の３００ページにくらべて、異様に難しいですね。登場人物もいきなり賢くなってます（笑）しかし、不完全性定理の雰囲気みたいなのは伝わりました。とりあえず、とっかかりとしては、文句なしの一冊でした。

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シリーズ第三弾。
今回は「数学を数学する」というのがテーマ。今まで自分が勉強してきたものとは違う、プログラミングのような独特な数式が多く出てくるが、分かりやすく導いてくれる。
終盤の不完全定理の証明は、もはや定番になっている登場人物の急激なレベルアップにおいていかれてしまったので、全然理解してないが、それ以外の部分でも心に響く数学が多く盛り込まれてる感じがした。
特に「ガリレオのためらい」が好き。