あらすじ
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「僕」たちが追い求めた、整数の《ほんとうの姿》とは? 長い黒髪の天才少女ミルカさん、元気少女テトラちゃん、「僕」が今回も大活躍。新たに女子中学生ユーリが登場し、数学と青春の物語が膨らみます。彼らの淡い恋の行方は?
オイラー生誕300年記念として2007年6月に刊行された、数学読み物『数学ガール』の続編です。今回のメインテーマは、「フェルマーの最終定理」。《この証明を書くには、この余白は狭すぎる》という思わせぶりなフェルマーのメモが、数学者たちに最大の謎を投げかけたのは17世紀のこと。誰にでも理解できるのに、350年以上ものあいだ、誰にも解けなかった、この数学史上最大の問題が「フェルマーの最終定理」です。20世紀の最後にワイルズが成し遂げたその証明では、現代までのすべての数学の成果が投入されなければなりませんでした。
本書『数学ガール/フェルマーの最終定理』では、ワイルズが行った証明の意義を理解するため、初等整数論から楕円曲線までの広範囲な題材を軽やかなステップで駆け抜けます。
本書で取り扱う題材は、「ピタゴラスの定理」「素因数分解」「最大公約数」「最小公倍数」「互いに素」といった基本的なものから、「背理法」「公理と定理」「複素平面」「剰余」「群・環・体」「楕円曲線」まで、多岐にわたります。
重層的に入り組んだ物語構造は、どんな理解度の読者でも退屈することはありません。
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Posted by ブクログ
前作に引き続き、二巻目のフェルマーの最終定理を読んでみました。一巻を読んでいたときは、「よく分からないけど、数学って奥深いな」と思っていたのが、今作では登場人物と一緒に考えて答えを出すことができるようになっていました。オイラーの等式という有名なテーマであっても、しっかりと登場人物の話についていき、彼女らと同じ時を過ごせるようになりました。他にもたくさん分からない数学ワードが出てきてもロジックを理解できるようになり、私も数学ガールを名乗れる日が来るのも近い気がします。また、登場人物の名言が増え、中でもミルカさんのセリフが心に響きました。また一人、私が尊敬する数学者が増えました。しかし、一番感動したのは、序盤に書かれていた「原始ピタゴラス数は無限に存在するのか」という問題を最後にユーリが考察するのですが、その考え方が私がイメージしていたことと全く同じだったところです。私がうまく言語化できなかったところをユーリと主人公が代弁してくれて、数学の美しさと自分自身の成長に感動してしまいました。
Posted by ブクログ
第2巻は、フェルマーの最終定理。さすがに、これを説明するには、内容的にもボリューム的にも難しかったか？。雰囲気だけ理解できたような気になって終わってしまった。
しかし、あらためて数学の持つ面白さを体感させてくれる。
原始ピタゴラス数、互いに素、複素平面、余り、群、法、オイラーの公式、自然対数、指数法則。高校時代に漠然と聞いていた用語が、意味を持って繋がる気がする。かといって、人生に役立つわけではないが…。それがいいのかもしれない。
最先端の数学が、時代がくれば学校の教科書に載る、と語る。「負の数」や「複素数」のように。私たちは、まだまだ、新しい数学の世界を傍観するだけだけど。
Posted by ブクログ
読んでいると今まで習ってきた数学がつながっていく感じがした。説明が基礎的なことから書いてあり、１章読むごとに納得して読み進めることができた。今まで道具として使ってきた数学の世界が見え、数学を楽しむことができ、数学に興味を持つことができた。
Posted by ブクログ
だいぶ長い間積読になってたこの本、再開したいと思います。
自然数がいくつか並んでいたときにそれが偶数か奇数かを考えるのと同じように奇数を4で割ったときにどうなるか考える。余りが1か3に分類される。
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数学に触れたことがある人ならば誰でもその答えを知りたいと思うシンプルな定理それがフェルマーの最終定理かなと思う。本書ではフェルマーの最終定理が証明可能であることを解き明かしていくのだが、実際にその式が文中登場するのはP.222ページの中盤から後半にかけてである。それまでの間、導入部分では数字の仲間外れ、完全巡回をめぐって素数の不思議や互いに素であることの訓練を行っていく。またピタゴラスの定理という誰もが知っている直角三角形で使われる言葉から、原子ピタゴラス数は何かに触れそれが無数に存在することを証明する。
フェルマーの最終定理には背理法を使うため、前半クライマックス部分で「√2が有理数でないことを証明せよ」という問題を背理法で解決しその考え方に慣れる。
またその証明の仕方において偶奇（パリティ）を調べていくことの手段を知る。偶奇を調べる、辺々足す、辺々引く、式の部分を別の文字で置き換えるというプラクティスをずっと続け、やはり最後の証明に必要な基礎的な考え方を実践していく。
素数が複素数を含んだ積の形で表すことができるかどうかを考え、その結果砕ける素数は4で割った余りが3である素数であることを突き止める。
＊4で割った余りが3であることで素数を分類のは一番最初の「数字の仲間外れ」で僕が用いた手法で従妹のユーリが「まるでこじつけみたい」とコメントしたように不自然な手法のようにも思われるが、やがて偶奇を調べることと同じくらい柔らかくなじんだ手法に感じられるようになっていく。
その後、数学の群を定義する。そして数学らしからぬ緩やかな定義に感じられる合同の考え方を学ぶ。
さてここまでを学んだ上でのフェルマーの最終定理である。その前に最も美しい数式といわれるオイラーの公式に触れるのであるが、これはフェルマーの最終定理を背理法で証明するにあたって、楕円関数と保型形式の世界をつなぐ谷山・志村の定理において指数関数をテイラー展開して得られた結果をあてはめると、素数＝楕円関数の数例と保型形式の数列の間に和が成り立つという答えを得られるためであった。
このようにしてわかりやすいフェルマーの最終定理をその式の形とは全く異なる要素の背理法を使って証明し物語を終える。
Posted by ブクログ
数学者の本は数学者でもわからないことがあるらしい、と以前サイエンス・ライターの方が言っていました。だから、数学の本を読むときは、紙と鉛筆を持って、筆者の頭の中を辿るように、数式一つ一つを自分の手で計算していかなければならないとか。
そうすると、この数学ガールシリーズは筆者の頭の中をかなり丁寧に描いてくれている、と言えるように思います。数学Ⅱでほぼ受験の武器としては数学を捨てざるを得なかった僕がわかりやすいと思うのだから、丁寧に書いてあるのは間違いないでしょう。
以上は、数学ガールシリーズの総論です。
本書は僕にとっては３冊目（ゲーデル→ガロア→本書）になります。各論としての本書の感想は、これまで読んだ中でも、一番とっつきやすいテーマだったな、ということです。話の起点が、おなじみのピタゴラスの定理だったところも入りやすい要素の一つだったように思いますが、学校のように単にa^2+b^2=c^2で終わることなく、原始ピタゴラス数が無限にあることの証明など、さらに掘り下げることがあるんだ、っていうところに驚かされたりします。
圧巻は、僕としては、無限降下法の章でしょうか。背理法の証明の仕方にこんな方法があるなんて。上の原始ピタゴラスの証明のところで散々背理法が出てくるのですが、なんとなくそこでわかったつもりになっていたところに、今までにない方法による証明が出して驚かせるというのは、おそらく筆者の狙った所ではないでしょうか。
最終章のフェルマーの最終定理は概要です。が、重いです。これも、このシリーズでは定番です。やはり有名な定理はそんな簡単にわかるものではないという厳しさと、それでもそこまでの章の中に理解するために必要な知識が（おそらく）詰め込まれているという優しさで、数学が苦手な僕にもとても楽しめる内容になっています。
