【感想・ネタバレ】はじめてのガロア 数学が苦手でもわかる天才の発想のレビュー

金重明

わずか20歳で世を去った青年の業績が、なぜ「革命」といわれるのか。彼は人類に何を遺したのか。数学嫌いにも理解できるその真髄！

[ブクログ · ★★★☆☆]

17歳で数学的革命をおこし20歳（1832年）に謎の決闘で死んだガロアの残した「累乗根で方程式が解けることの条件について」に書かれた群論、特に正規部分群までを解説した本。初心者にも必要最低限のことが理解できるらしい。
ガロアは方程式を論じる過程で、方程式の根の置換群という代数的構造を発見した。そして、その代数的構造によって、無限に広がり複雑怪奇な変化をともなう数の世界において、群によって規定される構造こそが重要であると宣言したそうなのだ。

以下ネタばれ備忘録
・古代からガロアまでの数学
　アルゴリズムを追求する
・ガロアから現代までの数学
　全体の構造を探求する
・方程式を解く鍵は二項方程式
・ラグランジェは二項方程式の根を、もとの方程式の根の有理式で表した。これが方程式論の流れを変えた
・闇雲に根を求めるのではなく、まず根の有理式の値を求めよう　が新しいスローガンとして登場した
・１のｎ乗根は複素平面上の半径１の円をｎ等分した点
・次数が素数である二項方程式の根について、その置換群の要素の数は次数と同じ素数
・方程式の係数は根の基本対象式（α＋β、αβ）
・根の置換をしても変化しない根の有理式（つまり根の対称式）は、根の基本対象式の有理式であらわすことができる。つまり、もとの方程式の係数を用いて計算できる。（α²＋β²＝（α＋β）²－２αβ
・根の置換をすれば素数個の異なった形になる根の有理式は、その素数次の二項方程式を解くことで値を求めることができる。
・根の置換をして変化する式の形の数が素数でない根の有理式はこの時点ではお手上げ
・2次方程式の根の置換群の要素の数は２、要素の数が素数である非常に単純な群
・3次方程式の根の置換群の要素の数は６、この置換群は交換法則が成り立たない、普通、置換群は交換法則が成り立たない。
・群に部分群が存在すれば、その群は部分群と剰余類に類別される
・部分群と剰余類を要素として計算していった場合、それが群になれば、それを剰余類群という。
・部分群Hがもとの群の任意の要素αに対してHα＝αHが成り立つとき、Hを正規部分群と呼ぶ
・正規部分群とその剰余類は群になるので剰余類群である
・方程式の根の置換群の中に正規部分群があり、その剰余類群の要素の数が素数であった場合、二項方程式を解くことによって、その正規部分群で不変な値を求めることができる。
その正規部分群の中に、さらに正規部分群があり、その剰余類群の要素の数が素数であれば、二項方程式を解くことによって、その正規部分群で不変な値を求めることができる。
この作業を繰り返し、最後の正規部分群の要素の数が素数であれば、二項方程式を解くことによって、もとの方程式の根をもとめることができる。
・五次方程式の根が求められるかを検討する。根の置換群を数え上げると、要素の数は１２０．すべての要素に対してHα＝αHが成り立っている正規部分群の存在を確かめればよい。要素の数６０の正規部分群が存在して、剰余類群の要素の数は２。しかし要素の数６０の正規部分群の中に、他の正規部分群はないため、五次方程式は根は代数的には求められない。