赤攝也のレビュー一覧

集合論入門

赤攝也

文庫サイズの収まりの良さから，集合論に必要な代数・濃度・順序数についてじっくり学習できる入門書。まずは本書レベルを目標に。

現代の初等幾何学

赤攝也

[ニーハム花子]

公理系から初等幾何を展開する

この教科書は、「点」からはじまる７つの無定義用語をさだめ、これらから公理系をつくるのだが、その公理系の対象は座標平面とすることから出発する。この公理系を選ぶところで大切なのは、その公理系から初等幾何がたやすく展開できることであるが、この展開が大変わかりやすく丁寧に説明されている。

練習問題は「証明を完結せよ」というような形式で、学習者が自分で公理系からユークリッド幾何学の定理を考えるようにできている。具体例では定理「相異なるどのような２点に対しても、それらを通る直線がただ１つ存在する。」の証明のあとに出題された問。

この問を考えることで、直線の定義と定理とのつながりを自分でたしかめることができる。

コロナ禍でなかなか会えない知人と数学書を読みながらオンラインでやりとりしたのだが、これを教科書にしてもよかったかなと思った。

現代の初等幾何学

赤攝也

齋藤の線形代数入門を読んでいて、イントロで2次元や3次元でのベクトルや幾何が展開されるが、底で支えている論理的基盤（何をベースに各種性質を示しているのか）が良く分からず、その部分を知りたくて読んだ。

公理的にユークリッド幾何が基礎づけられ展開される様子が大変分かりやすく示されている。

こういった基礎的な分野の本はすぐに何かに役立つわけではないが、数学理解への支柱を与えてくれる素晴らしい本だと思う。

数学と文化

赤攝也

大袈裟かもしれないが数学世界全体のエッセンスを一気に得たような気になった。おそらく、数学の本質を述べている書なのだと思う。現代数学というものまで分かったような気になった（実際は門の前に立ったくらいだろうが）。それくらい読んでいい気分にさせてくれる。書いてあることは難しいのだけど、じっくり読めば理解できるくらい優しさがあふれる解説である。中学生か高校生くらいの時に読んでいれば、大学では数学科を選んだかもしれない。いや、そんな人は実際にいるだろうと思う。脳みそは使ったけれど、楽しい読書でした。

文庫版の初版は2020年2月だけど、本自体は1988年のものである。コンピュータについての解説は古いと感じるが、それ以外の純粋な数学部分はまったく色あせていない。数学の美しさまで感じる。

数学と文化

赤攝也

　かなり高度な話題を扱っているのにスッと入ってくる。上手い説明というのはこういうことを言うのだろう。それぞれのトピックは独立しているのに、全体を眺めると途切れることのない流れがあり、数学というのは相互に関連しながら発展してきたことが体感できる。

数学序説

吉田洋一 / 赤攝也

数学の壮大な歴史を紐解きながら、その動因と繋がりを示す名著。数学への興味がないとつまらないだろうが、私にはどの章も面白かった。

ユークリッドの幾何学の具体的な証明、代数学の萌芽、解析幾何学、微分法、取り尽くしの方法、ヒルベルトの公理主義、非ユークリッド幾何学、脱皮した代数学、直線を有理数で切る実数の概念、集合、濃度、証明論、確率

数学序説

吉田洋一 / 赤攝也

ユークリッド幾何、微積分から数学基礎論まで概念的なところから数学とは何かを解説する。数学の学問としての面白さに触れることのできる本。

大学で数学を学ぶとあれよあれよという間に抽象化の度合いが高まっていく。新しい概念を手に入れると何とも言いようのない高揚感を感じることができる。その一旦を初学者にも何とか理解してもらいたい、そういう思いで本書は書かれているように思う。高揚感を感じるには一定の努力は必要だ。だから、教養としての数学云々…と帯にはあるが、この教養は、昨今、流行のお手軽で日々の生活に役立つような教養ではない。もっと重厚で役立たずでそれでいて理解するためには読者に努力を強いる教養だ。

数学なんて役に立たないとある人はのたまう。しかし、役に立たなくたって、いや役に立たないからこそ、数学はこんなに面白い。（ところで、役に立つことばかり追いかけてしまうのは何故だろう？）有理数の切断として実数を捉えることで何かが変わるわけではない。でも、有理数の切断として実数を捉えることができればそこにある種の感動があることは間違いない。

公理と証明 ──証明論への招待

彌永昌吉 / 赤攝也

数学基礎論についての入門書的な本みたいです。
第３章の「証明論」はちょっと話が急すぎてついていけなかったですが、全般的にわかりやすく、分量も多くなく、読みやすい本だと思います。

■読もうと思った動機：
・ウィトゲンシュタインの「論考」を深く理解するうえで、論理学に関する知識をおさらいしたいと思い、タイトルをパッと見で買ってしまったので読むことにした。
・もともと数学基礎論に興味があった。

■読んだ結果・感想：
・個人的には、予想外の良書だった。お気に入りの本になりそう。
・デカルト座標系みたいな考え方で幾何学を代数的に考えることができるのは、幾何学の公理系と代数の公理系との間に同型写像が存在するから、という感じのことが書いてあるあたりは、しびれた。なるほど。
・証明論のあたりは、やや説明が足りていないような気がした。よくわからなかった。でも、証明論がわかれば、ゲーデルの不完全性定理にまで到達するのもすぐのような気がした。
・そういう意味で、「論考」ではなく「ゲーデル」でした。

確率論入門

赤攝也

はしがきにもあるように、古典確率論からコルモゴロフ以後の公理的な確率論への橋渡しとしての役割をもつ良い入門書です。

全体の議論は（最終章を除いて）有限加法的な事象に限定されています（一応最後の章に無限個の確率事象の和・共通部分への拡張が言及されており、ルベーグ積分や測度論への導入がされていますが）。より専門的な公理的確率論の本を求めているのであれば、この本の内容だと大分物足りなさを感じるかもしれません。未読ですが、同じちくま学芸文庫で出版されているコルモゴロフ『確率論の基礎概念』などをこの本の後に読むと良いかもしれませんが、そこまで買うならちゃんとした確率論の教科書を一冊買って読み込んだ方が結果的に経済的な気もします…

とはいえ文庫本で値段も比較的安価かつ持ち運びも容易なので、確率論に対する考え方を見直すのには丁度良いと思います。

現代の初等幾何学

赤攝也

初等幾何学を題材に、公理から定理を導く流れ。内容は平易だが、「見た目に」明らかなことも公理から証明していくことで、公理主義を体験できる。形式と対象の分離についての感覚を掴むには良いかも。

現代数学概論

赤攝也

　現代数学が何を目標としているのかが良く分からなかったが、本書のおかげで、数の構造の解明を目指しているということがようやくわかった。過去に集合論や群論の本を読んだものの、数学的な難しさとは別に、なぜそのような考えが必要なのか、そのようなことをするのかが理解できなかったが、集合や群という道具だけを見ていたからだった。
　本書では一つずつ考え方を積み上げ、拡張するという構成となっている。また、記号の定義、説明もしっかりしているので、いきなり意味不明な式が出てくることもない。集合論は大体理解できたが群論に入るとさすがに難しく理解が追い付かない。しかし構造を定義しているということは分かるし、先行して定義を持ち出すこともないので、じっくりと取り組んでいけば理解できるようになると思う。

集合論入門

赤攝也

集合論を、かなり高度な情報も含めてコンパクトにまとめた入門書。集合論の入門書には、位相空間などの内容を含めたものも多いのだが、この本は、集合論だけで一冊の本にしている。カバーする範囲も広く、集合論だけにしぼってそれなりの深さで知りたい、という向きには定番的な入門書だと言えるだろう。例もそれなりにあり、基本的にはわかりやすい。
ただ、記述を簡潔にするあまり、作者にとって自明なところがこちらにはわからなかったりもするので、おそらく数学プロパーでない人にははっきり意味を測りかねるところがたまにある。こうしたところは気長に取り組む構えが必要でしょうねぇ。

公理と証明 ──証明論への招待

彌永昌吉 / 赤攝也

なんとか30代でゲーデルの定理を理解したいと思って、この手の本をいろいろ読んでますが、これは「入門書」であるらしいです。たしかに一般向けに書かれたものよりも数式が多い（文系の私にとっては、どうしてもそういうものが指標になるのです）けど、なんとかついていけそうな感じです。とはいえ、内容はよくわからないところも結構あって、特に証明論の最後、無矛盾性の証明の節は、もう何やってるのかよくわかりません。。。

しかし、コンパクトな１冊なので、その分気は楽（笑）。数式はある程度読み飛ばして、読み物として読んでも面白いと思います。

数学序説

吉田洋一 / 赤攝也

　この本を読んで初めて数学というものを知ることができた。数学をもう一回勉強し直したいと思わせる本だった。
　昔は数学の厳密さにイライラしたが、今はその厳密さをきれいに感じる。

公理と証明 ──証明論への招待

彌永昌吉 / 赤攝也

証明論の推論の規則はピンと来なかった。
全体的には比較的読みやすい部類に入ると思う。
ただくどい。
ぼくはそのくどさが好きだった。

集合論入門

赤攝也

中学だか高校だかの数学で、確か集合論の超初歩は勉強した気がする。あの、Uみたいな、「カップ」というやつ。
さてこの本ではそういう基礎から入るが、瞬く間に私はつまずいた。「濃度」という用語が出てくるのだが、これが、「塩分濃度」などの一般的な「濃度」とはまったく違う意味で、なぜ何一つ共通点の無い表象に同じ日常語を用いるのか？　と疑問になってしまった。良質な高校教師とかだったら、「これをどうして濃度と呼ぶかというと・・・」と説明してくれるにちがいないが、この本では割愛されていて、私の疑問は疑問のまま、もう真剣に読解を進める気が失せてしまった。
集合論は完全に数学の世界なので、どんどんどんどん話はややこしくなっていき、専門用語も矢継ぎ早に飛び出してくる。私の目には、どうしても数学者って狂気じみた人々というイメージだ。しかし非常に頭脳明晰な狂気である。
その狂気に満ちた世界を、この本は垣間見せてくれた（笑）。
ただし、集合の各要素（「元」という）は必ず独立した個体でなければ、この学問分野自体、成立しない。ゲッターロボみたいに、途中で３つのメカが勝手に合体して1個になられてしまってはわけがわからなくなる。もちろんアメーバが分裂して個体数が増えても困る。さて「完全に独立した個体」なるものは、日常のこの世界に存在するのかどうか。
まあ、高等な数学にはひきつった笑顔で敬礼しておこう。

数学序説

吉田洋一 / 赤攝也

永らく単行本で読み次がれてきた名著の文庫化は嬉しい限り。"素人でも数学を楽しむことができることを説明したい"と冒頭に書いてある。数学書を読むときは紙と鉛筆を手元において図や計算を確かめながらというのが一般的だが本書はその必要がないともある。云わば人類が歩んできた道程を綴った短編集。接戦の考えから微分法へ、面積の考えから積分法へ、両者を繋ぐ代数学の基本定理へ、記述が淀みなく進む。結果がガチガチで誰がやっても同じと思われる数学という学問が実はヒトによって考えが大きく異なる極めて人間臭いモノだと感じられるはず。

公理と証明 ──証明論への招待

彌永昌吉 / 赤攝也

んー普通です。

が、大学の工学部では解析学は（当然のことながら）数学基礎論は学ばないため、証明論を学ぶ機会は少ない。
しかも、証明論を平易に語る書籍が少ないのだ。本書はその数少ない書籍なのだろう。

第１章は公理とは何か、第２章は数学の基礎（実証主義、直観主義、形式主義）、そして第３章が証明論である。
目標はGödelの不完全性定理なのだろうと読み進めていくと、自然数論を含まない公理（例えば群論）系に対する無矛盾性を示して終了。
証明方法は大学の教科書に載っている方法である。

自然数論を含む公理系に関してはGödelの不完全性定理から、無矛盾性及び完全性は否定されている。それをもって証明論自体の存在意義を失っていると考えるかもしれない。
筆者が言うように、集合論や実数論における（有限の立場での）無矛盾性は証明されていない。まだまだ研究の余地はあるということだ。
そして何より、数学の健全性ということを証明するためには、この数学基礎論が主役となるのだ。今後の研究成果に期待である。