『無限』について、どんな種類があるか。
その証明方法がエレガントです。
直感に反するので、騙されてるような気がするのですが・・・
◇整数と有理数では、どちらが数が多いか。
考えるまでもなく有理数だと思うのですが
何と、整数と有理数では"同じだけ"あるのですね。
工夫すれば、全ての有理数は、整数と一対一の対応付けができますので。
「整数の無限」と「有理数の無限」は、同じだけなのです。
これは、とっても不思議な感じがしますね。
◇無限＋無限＝無限
無限×無限＝無限
ということですね。
結局、無限とは１種類なのか？
というと、そうではないです。
有理数より無理数の方が、数が多いです。
（当たり前のような気がしますが、証明できることがスゴイ）
◇さて、有理数より無理数の方がどれだけ多いか？
こんなことがわかってしまうのが驚きです。
無理数の数＝２の∞乗なのですね。
１０の∞乗と言っても同じことなのですが。。。
(有理数の数を"∞"で表してます)
指数演算を使えば、無限は次の階層に到達する
ということですね。
◇ここまでで、無限にも２種類あることがわかりました。
同様にして、もっと大きなサイズの無限は、どこまででも
無限に増やしていけます。
しかし、この２種類の無限の間に、中間サイズの無限があるのか？
「有理数の無限」と「無理数の無限」の間に、
中間サイズの無限は存在しない
というのが、"連続体仮説"というものですね。
◇本書は、その"連続体仮説"に挑んだ数学者達(といっても2名かな)
の物語です。
この難問に挑んだ数学者は皆(といっても2名)、精神を病んでしまうのですね。。。
◇結局、"連続体仮説"は今の数学体系の中では決定不可能、
正しいとも正しくないとも証明できないことが知られています。
こんなところで、不完全性定理と関連してくるとは
