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現代数学に大きな影響を与えたガロア理論とは? 「僕」と4人の少女が軽やかに解き明かす、魅惑の数学物語。エヴァリスト・ガロアに捧ぐ。
累計15万部を突破した「数学ガール」シリーズの第5弾です。
今回のテーマは、ガロア理論。
19世紀初頭、若き天才ガロアによって打ち立てられたガロア理論は、
現代数学のみならず現代科学のあらゆる分野に絶大な影響を与えています。
本書は、方程式の解の公式から、定規とコンパスの作図問題、それらを取りまく群と体の解説を経て、
ガロア理論への理解に向かいます。
これまでの本と同様、「僕」と4人の少女たちが大活躍します。
シリーズの読者はもちろん、数学に関心をもつすべての読者に最良の一冊です。
※アプリの閲覧環境は最新バージョンのものです。
Posted by ブクログ
数学ガールシリーズ第5弾。
今回は、衝撃的な生涯を送ったエヴァレスト・ガロアが発見した代数方程式に関する理論がメインテーマ。そう言えば、ぼくも中学、高校の頃に、5次以上の方程式にはなぜ解の公式がないのだろうと疑問に思った事があったが、結局受験勉強が終わると、そう言う事は忘れてしまい、じっくりその問題に取り組む時間を作るなどと言う事はしなかった。
大学生の頃、度々代数方程式関係の本などに目を留めたり、ガロアに関する本など買った事もあるが、まじめに読み通す事はせずに、まだ実家に積ん読状態になっている。本書に出会って、改めて学生時代の疑問が解決出来た様な気がする。そもそも問題自体もきちんと把握してなかった事もわかり、それも含めて二次方程式や解の公式を違った視点から眺められた事が良かった。
今回もいきなり「あみだくじ」から始まって、ガロア理論とどうつながって行くのだろうと疑問に思ったが、同時になんとなく後の展開へのつながりについてわくわくする気持ちがわいてくる。数学ガールシリーズはこの「ワクワク感」が魅力の一つ。
体と群の二つの塔をたてる時は、またもや数学の別世界のつながりを体験出来た。コンパスと定規を用いた作図問題も、今まで知っているつもりだった事が、代数方程式との組み合わせでより深い意味にたどり着く事が出来た様にも感じた。
ユーリが言った、「解の公式がいままでと違って見える」という台詞が特に印象的。
Posted by ブクログ
頭がほぐれる．気持ちが沸騰する．面白い．
数学で「あっ！わかった！」ってなる感覚を連続で追体験する感じ．
全体的には，数学8割にラノベ2割といった成分構成かな．
数学の解説を，登場人物同士の会話で展開してて，しかも登場人物には
ちゃんと思考のクセが設定されてるので，多方面の視点を自然に提供出来ていて，ただ単にハーレムラノベにしたいから（たぶん美）少女をそろえたわけじゃないんだぞ，という感じする．
シリーズ5作目なのを知らずに初めて読んだけど，全く問題なかった．
ぶっちゃけ，ガロアの第一論文をまんま解説しにかかる最終章はちょっと寝室読書では追いつけなかったけど，非常に楽しめた．
シリーズの他の作品も読むか～．
Posted by ブクログ
"５次方程式の解の公式は存在しない。そしてその事実は、角の３等分の作図不可能性ととても似ている。" "角の３等分について考えるのは、そもそも＜作図とは何か＞を明確にする必要がある。ここでいう作図は＜定規とコンパスのみを有限回実行する作図（＝有理数から加減乗除と開平を有限回実行する作図：引用者加筆）＞のことだ。それと同じように５次方程式の解の公式について考えるには、そもそも＜方程式を解くとは何か＞を明確にする必要がある。方程式を解くとは＜係数に対して加減乗除および冪根を求める計算を有限回実行して解を得る＞ということだ。このことを＜方程式を代数的に解く＞という" ・・・体の世界、郡の世界にガロアの橋のかかるとき、方程式の深淵が垣間見える。
Posted by ブクログ
シリーズ五作目。方程式が代数的に解けるための必要十分条件を見出したガロアの理論を，ガロアの第一論文に沿って見ていく。といっても本書の大部分は体の拡大とか群論といった準備に充てられている。
理系の大学に行っても，数学をしっかりやらないとガロア理論なんてかすりもしないけど（自分がそうだった），そこにはものすごく豊かな世界が広がっているのが感じられる。数学の本質が垣間見えるというか，いろんなものがつながっていく。角の三等分と方程式の可解性にこんな関係があったとは。
受験勉強してたころ，高校数学の範囲でも相当目から鱗で，数学って面白いと感動したものだ。でも，本当の数学ってそんなの目じゃないくらいに面白い。数学ガールシリーズは，それを効果的に教えてくれる大変な好著だと思う。小説部分は苦手だけど。
「方程式が代数的に解ける」とは，方程式のガロア群から出発して，位数が素数の剰余群だけが出てくるように，正規部分群で次々割って群を縮小していって，最終的に単位群になるような正規部分群の列を作ることができること。
一般n次方程式のガロア群はn次対称群S_n。n ≧5については，S_nの正規部分群は自分自身と単位群のほかにn次交代群A_n(位数n!/2)しかない。 n!/2は素数でないので，一般n次方程式は代数的に解くことができない，つまり一般n次方程式に解の公式はない。
角の三等分の作図不可能性は，五次方程式の代数的不可解性と似てる。角の三等分が定規とコンパスで作図できないことは，有理数体から出発して開平を添加して体を次々に拡大していっても，求める角(の余弦)を含むようにできないことから分かる。
五次方程式が代数的に解けないことは，有理数体から出発して羃根を添加して体を次々に拡大していっても，方程式の解をすべて含むようにできないことを意味する。
開平が羃根をとる操作に変わったわけだが，このせいで，五次方程式の代数的不可解性の方は，体の議論だけでは証明ができなくなっている。証明には対応する群の関係も考慮する必要があり，それで現れたのが，方程式のガロア群。
係数体から出発する体の拡大が，ガロア群から出発する群の縮小に対応するというわけ。
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