あらすじ
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「有限体」をご存じでしょうか？
決闘による壮絶な最期を迎えたことで知られる数学者、エヴァリスト・ガロアが最初に発表したことから、「ガロア体」ともよばれる有限体は、四則演算が定められた有限集合です。
私たちが慣れ親しんでいるふつうの数の世界では、1 を繰り返し足していくと、2、3、4、…と、新しい数がどんどん生まれていきます。しかし、有限体がつくり出すのは、たとえば1 + 1 = 0 が成り立つ世界です。
そこは、0 と1 だけの2 個の数の世界で、素数2 によってつくりだされます。このような数の世界は、個々の素数ごとに広がっていて、たとえば素数3 は、1 + 2 = 0 の世界をつくります。
数の個数が有限個に限られた有限体の世界でも、数論、代数や幾何など、深みのある数学が展開します。
ガロアが見出し、進化させた「新たな素数の世界」とは、どのようなものなのでしょうか？
本書では、有限個の数の世界＝有限体の中に無限に数学が広がっていることを紹介します。
【もくじ】
〈第１部 1+1=0の世界──素数のふしぎなはたらき〉
第１章 ふしぎな国のふしぎな計算
第２章 四則演算からの風景
第３章 0と1の幾何学
第４章 美しい平方数の世界
第５章 方程式からの眺望
第６章 平方数を超えて
第７章 「有限個の数の世界」と「ふつうの数の世界」
〈第２部 ガロアが創った新しい世界──数の進化を考える〉
第８章 ガロアの虚数
第９章 p乗の魔法
第10章 有限体上の楕円曲線
【著者紹介】
西来路文朗（さいらいじ・ふみお）
1969年、広島県生まれ。大阪大学大学院理学研究科博士課程数学専攻単位取得退学。博士（理学）。専門は整数論。賢明女子学院中学校・高等学校の教諭を経て、現在、広島国際大学看護学部看護学科教授、広島大学客員教授。著書に『Liberal Arts 基礎数学』（京都廣川書店、青木宏光氏との共著）がある。
清水健一（しみず・けんいち）
1948年、兵庫県生まれ。岡山大学理学部数学科卒業。博士（理学）。専門は整数論。賢明女子学院中学校・高等学校の教諭を経て、現在、岡山大学客員教授、岡山理科大学非常勤講師。著書に『大学入試問題で語る数論の世界』『美しすぎる「数」の世界』（ともに講談社ブルーバックス）がある。
二人の共著による『素数が奏でる物語』『素数はめぐる』（いずれも講談社ブルーバックス）も好評。
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感情タグBEST3
Posted by ブクログ
『有限の中の無限』では、普段当たり前だと思っていた数の世界が、実は「ルールによって作られた多様な構造の世界」なのだと感じた。0と1だけ、あるいは0・1・2だけの世界で足し算や掛け算を考え、演算表を作ってみると、普段の計算とは違う規則が現れる。それでもその世界にはきちんと秩序があり、「数」とは単なる量ではなく構造や操作そのものなのだと感じた。
特に印象的だったのは、掛け算表や直線を表で表現したり、有限幾何やブロックデザインが実験計画法につながっていたりする点だった。一見バラバラに見えるものが、「要素同士の関係を整理する」という共通の考え方で繋がっている。数学は計算の学問というより、関係や構造を抽出して扱う学問なのだと思わされた。
平方数についての話も面白かった。平方数同士を掛けると平方数になり、平方数でないもの同士でも組み合わせ次第で平方数になる。一方で平方数とそうでないものを掛けると平方数にはならない。偶然のように見えても、素因数分解すると「指数が偶数かどうか」という綺麗な規則で説明できる。数の世界には、不思議さと同時に強い秩序があるのだと感じた。
後半ではFp係数の多項式が登場し、有限体の世界では多項式の個数や解の個数を一般的に数えられることに驚いた。直感だけでは到底見通せない内容でも、有限な世界だからこそ完全に整理でき、普遍的に証明できる。数学は感覚ではなく論理によって世界全体を見通そうとする営みなのだと改めて感じた。有限な材料から無限に豊かな構造が現れるところに、本書のタイトルの意味が込められているように思う。
