難解に見えるのに超気持ちよく解ける 感動する図形問題

まさし

「どこから解けばよいのかわからない！」「難しく見える！」けれど、
解けるとすっきり爽快！気持ちよさに感動する図形問題を集めました。

数学が大好きな方から得意ではない方まで楽しめるつくりになっています。
●POINT１
問題を解くために必要な知識のまとめがあるから、算数・数学を勉強中の人/学びなおし中の人も解ける！
●POINT２
問題ごとにヒントを用意しているから、数学が得意ではなくても楽しめる！
●POINT３
解説はできるだけ図を多く、文章を短くしているから、自分で解けない場合も、解説を読んで「こうやって解けばいいのか！」と気持ちよさを実感できる！

図形問題をもっと得意にしたい！と思っている中高生はもちろん、
謎解きやクイズが好きな方、数学に再挑戦したい大人まで多くの方が楽しめる内容になっています。


＜掲載内容＞
1章 分けて加えて頭やわらか問題
2章 変形が美しすぎる問題
3章 やみつきになる角度の問題
4章 特殊だけど解けたらスッキリな問題
そのほか、「図形問題テクニックまとめ」「おすすめテスト前勉強法」など

• カテゴリ: ビジネス・実用
• ジャンル: 学術・語学 / 教育
• 出版社: KADOKAWA
• タイトル: 感動する問題シリーズ
• タイトルID: 20128706
• 電子版発売日: 2025年05月02日
• コンテンツ形式: EPUB
• サイズ(目安): 42MB

[ブクログ · ★★★★★]

どの問題も解法が鮮やかで、解説を読めばスッキリします。頭の体操にちょうどいい。
ちなみに全３９問中、自力で解けたのは１０問ほどでした…

[ブクログ · ★★★★☆]

確かに気持ち良くなった。
ただし反復必須だ。

以下メモ

まずは図形の公式や知識を覚える
面積
＜四角形の面積＞
1. 正方形の面積＝1辺✕1辺
2. 長方形の面積＝たて✕よこ
3. 平行四辺形の面積＝底辺✕高さ
4. ひし形の面積＝対角線✕対角線÷2
＜円の面積＞
円の面積＝半径✕半径✕3.14
＜三角形の面積＞
三角形の面積＝底辺✕高さ÷2
等積変形：面積の大きさを変えないで形を変えること
＜おうぎ形の面積＞
おうぎ形の面積＝半径✕半径✕3.14✕a/360

角
＜ 内角の和＞
三角形の内角の和は、180°
四角形の内角の和は、360°
n角形の内角の和は、180°✕（nー2）
＜ 外角の定理＞
三角形の1つの外角は、それと隣り合わない
2つの内角の和に等しい。
＜直線と角＞
対頂角：2つの直線が変わるとき、周りにできる角のうち、向かい合っている角。
対頂角は等しい。
同位角：2つの直線に1つの直線が交わってできる角のうち、同じ位置にある角。2つの直線が平行であるとき、同位角は等しい。
錯角：2つの直線に1つの直線が交わってできる角のうち、別の直線の対頂角的なやつ
2つの直線が平行であるとき、錯角は等しい。

特別な三角形のきまり
＜二等辺三角形＞
頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分する。
〈直角三角形〉
30°・60°・90°の直角三角形で「最も短い辺」と「最も長い辺（斜辺）」の長さの比は1:2
45°・45°・90°の直角三角形辺の長さの比は
1:1:√2

三平方の定理
直角三角形の3辺の長さの関係を表す公式。直角三角形の2辺の長さがわかっている場合に、残りの1辺の長さを計算できる。2辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとする直角三角形で成り立つ。
a2乗+b2乗=c2乗

三角形の合同条件

三角形の合同条件
合同な図形：2つの図形がぴったり重なる、形も大きさも同じ図形。位置や向きを変えるだけでぴったり重なる。裏返して重なる図形も合同な図形。2つの三角形は、①～③のどれかが成り立つとき合同である。
①3組の辺がそれぞれ等しい。
②2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
③1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

直角三角形の合同条件
2つの直角三角形は、①②のどちらかが成り立つとき合同である。
①斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
②斜辺とほかの1辺がそれぞれ等しい。

体積
＜角すいの体積を求める公式＞
角すいの体積を求める公式
゠底面積✕高さ✕1/3

円周角
＜円周角と中心角＞
円周上の点をPとするとき、
＜APBを弧ABに対する円周角、
＜AOBを弧ABに対する中心角という。
1つの円において、同じ弧に対する円周角の大きさは、中心角の大きさの1/2となる。
＜直径と円周角＞
直径に対する円周角は90°である。

第1章　分けて加えて頭やわらか問題
・長方形の中点がわかってるなら、中点から線をひく
・正方形が出てきたら、ヒントがたくさんあるということ。対角線や角度をかきこんで、等しい長さに印をつけてみるといい。
・国形の問題を解くときは、わかる角度や楽しい長さをどんどんかきこむのが基本！かきこんでいくことで気づくことはたくさんあるから、まずはかいてみることを意識しましょう。
・与えられた図の中だけでどうにもならないときには、広げることだってできる。図を増やしたら問題を複維にするかと思いまや、不思議なことに手がかりがつかめる。
・図形問題では「ひっくり返して追加する」というやり方がよく出てきます。どうにも長さがわからない、というときはやってみましょう！
・三角形の問題で30°、60°、90°がないときには、これらの角度の三角形をどうにか作り出せないか、と考えてみよう。
・中学校や高校の数学でも、1つの角度が15°の直角三角形は頻出！「15°のある三角形が出たときは、有名な直角三角形にする」ことを意識するだけで正答率がグッと上がります！
・三角形が出てきたときは、どんな三角形か必ず着目しよう。四角形が長方形とわかっているなら、2つは直角三角形。合同な直角三角形を組み合わせることができれば解けるかも

問題集の効率アップ勉強法
問題を解く前に○△×の3つのレベルに分ける
○：すぐに解ける問題、△：解けそうだけど時間がかかる問題、×：全く手が出せない問題
△の問題から解いて、解けなかったら解説を見る。×は最初から解説を見て、解き方を理解する。あとはかいせを見ずに解けるようになるまで△、×の問題を繰り返し反復

・絶妙な位置にひかれた直線、ひっそりと与えられた90°。これは90°を利用しない手はない。まずは、90°をヒントに線をひいてみよう。
・等積変形で先に三角形の面積を求めて、公式を使って底辺にあたる長さを求めるという、中学受験によく出る詰め合わせセットがある
・円にはヒントがたっくさん隠れている。
まず着目したいポイントは、半径だ！
・問題の図の外側に補助線をひくのは、遠回りするようでためらう人も多いかも。でも、「面積が求められる直角三角形」など、重大なヒントが隠れていることもあるので、広い視野をもっておくことが重要。
・45°と90°の角度が出てきたら、「怪しい！」と思って、直角二辺三角形を思い浮かべてみましょう
・30°が出てきたら、30°・60°・90°の直角三角形を思い浮かべよう。
90°が問題の図にないときには、垂線をひくことが多いよ。
・合同な直角三角形を2つ合わせると、二等辺三角形ができる。また、できた二等辺三角形の頂点から垂線をひくことで、この先に30°・60°・90°の直角三角形が見えてくる！
・円は難しく感じるけれど、対称性を利用して補助線をひくと、あっという間に合同な図形ができる。
・面積を求める斜線部分が正方形からはみ出ているときは、正方形の辺を延長して、大きい正方形や直角三角形が作れないかを考える。
・「全体から細々した部分をひく」という解き方はよく使います！計算の式が多くなるので、計算ミスがないよう、途中で式をきちんと見直すのがおすすめです。

テスト前の勉強計画
テスト2週間前から集中してスタート
〈2週間前＞テストの料目数、範囲（問題集のページ）を確認する。テストの1日前に問題集が3周終わるようにスケジュールを組む
＜1週間前＞問題集1周目完了。何回も解けるように、ノートに解く。間違えた問題に印をつける。
＜3日前＞問題集2周目完了。1周目で間違えた問題のみ解き直す。さらに間違えた問題に印をつける。
＜1日前＞問題集3周目完了。印が2つある問題のみ解き直す。
＜当日＞問題集や教科書に軽く目を通す。問題を見て解き方が思い浮かべばOK！
全ての教科で3周しなくても大丈夫！できなかった問題を2回目以降で見直すことが大事です。

第2章　変形が美しすぎる問題
・平行線の組み合わせを見たら、まず等積変形を疑うとよいでしょう。
・中心を通る線はないし、長さもわからない。
それでもまずは、わかるところに線をひくのが大事、対角線をひいてからがスタートだ。
・正方形なのに、正方形の性質が使えないところに線がひかれている。でも本当に正方形の性質は使えない・・・？唯一のヒントを使って正方形を見つけるのだ！
・正方形の面積はひし形の面積の公式で求めることが出来る
・円の中心に着目することがポイント！
中心を通る、ある線をひくと、
図形の美しさに感動することがある
・正方形の中に2つのおうぎ形は、いろんな解法があるが、公式みたいなやつは、真ん中の葉っぱのような形の面積は「正方形の面積に0.57をかける」と求められる。他には90°回転移動させて、長方形と半円を作り出す方法、一番面倒なのは、おうぎ形から直角三角形を引いて、真ん中の葉っぱのような形の半分の面積を求める方法
・円はまず中心に着目。4つの円の中心を見ると、円だけじゃなく、四角形も見えてくる
・中学・高校の数学でも言えることだけど、円の問題は「円の中心に着目する」ことで解けることが多いから意識してみましょう！

第3章　やみつきになる角度の問題
・直角三角形が内接する円を使って考える。
直角三角形の場合、どこかに円が隠れていることがたまにあるので、頭の隅にいれておくといいよ！
・直角三角形を見たら、「円が使えないか」を考える習慣を
・特別な直角三角形を使えば角度も求められるのです！長さがわからなくても、わかることをかきこんでいくことが基本
・長さがわからない時は「自分で辺の長さを決める」
・60°が出てきたら、30°・90°のセットの
三角形が作れないかを考えよう。この直角三角形ができると、辺の長さの比がわかるから一気に前進する。
・とにかく90°が使える三角形を探すことで、正方形を増やして考えるという道筋が見えてきます。
・中学数学で100%テスト出るイナズマみたいなやつ。見たことのある形にするのが基本。
ブーメラン型を知っている人は、線をひいたら、すんなり解ける問題かもしれないね。
・嘘みたいな角度が並んでいるとき、2つを合わせれば45°になるとき、これを使って、三角形を作れないかを考えよう。
・円が出てきたら、必ず半径に着目。
「半径の長さはどこも等しいので、二等辺三角形が登場することが多いのも特徴。二等辺三角形の辺の長さや角度を使って解けないか考えてみるようにしよう。
・図形問題では、角度や長さがわからなくても、等しい関係や長さの比がわかることも多い。
・問題の図の中でわかることをかきこんで、それでもわからない場合は、どこかに垂線をひくと、答えに近づけることが多いです。
・図形が2つあるのにばらばらに置かれているのって変だと思わない？図形は動かしたっていいんだから、2つの角度の合計をまめるのなら、2つを組み合わせてみるべし
・30°の角をもつ特別な直角三角形を作って、辺の比に着目しよう。そして、着目する三角形を次々と変えて、三角形の特徴を見つけることがポイント！

第4章　特殊だけど解けたらスッキリな問題
・部分的に長さがわかっているときは、補助線をひいてみることが大事。平行な線ができるということは、等積変形が使えるということなんですね
・直角や正方形を見たら、等しい辺の長さや合同に必ず着目しょう
・「辺の長さが等しいから、ここに移動できるぞ！」という思考を1つ持っているだけで、同じような問題がグッと解きやすくなります！図形を移動させる問題はよく出題される
・体積を求めるのに必要な高さは、組み立ててできる四角すいの切り口やもとの展開図を使って平面で考えるのがポイント。
・空間図形は苦手意識を持つ人が多いですが、「展開にしたら、どうなるのか」「どことどこが合同なのか」を平面で考えると解けることが多いです。
・図形が重なっているときには、方程式を使うことが多い。一気に解けなくても、順に考えると1つずつわかるので、式に表してみるとよい。
・正方形と直角三角形というおなじみの組み合わせ。等しい長さや角度があることが多いので、合同な図形を探したり、作ったりできないか考えよう。
・ヒポクラテス定理を知らなくても、半円と三角形を分けて順に考えれば解くとこが出来る
・面積を求めるために必要な三角形の高さを求める

図形問題テクニック完全まとめ

解く前に絶対やること
1.わかる情報を、図にかきこむ
* 正方形、二等辺三角形などがある場合、図形の性質からわかることをかきこもう。中点、対角線がヒントになることも。
* 長さの比だけわかる場合は、長さと区別して、①②などとかくのがおすすめ。
* 角度の関係は、「●」や「x」などで示すとわかりやすい。
三角形の角度の場合、「外角」を見落とさないようにしよう。

2.どんな三角形か確認する
・三角形が出てきたときは、どんな三角形か必ず着目しよう。直角は必ず印をつけて。

3.「基本の形」にする
* 「特別な直角三角形」「ブーメラン型」など知識が使える形にするのが基本。問題の図にないときには、補助線をひいていこう。
* 22.5°など角度が小数のときは、倍にして45°にしたり、外角で考えて「よく見る角度」にならないか確認。
* 補助線は問題の中だけでなく、外に広げることも多いので忘れずに。辺を延長して、大きな三角形や四角形を作る場合もある。

図形別ここを要するチェック
1.直角三角形
●「30°60°・90°」「45°・45°・90°」の組み合わせがないか（作れないか）は絶対に確認しよう。
* 90°が問題の図にないときには、垂線をひいて、90°を作ることがほとんど。
* 直角三角形が2つあるときは、合同が隠れていることが多い。
・2つ合わせると、二等辺三角形が作れることを忘れずに。
●「円」が隠れていないか注意。

2.三角形（直角三角形以外）
* 三角形の面積を考えるときは、底辺を決めつけず、いくつか試してみよう。底辺を変えると、高さがわかることも。
* 「等積変形が使えないか」、を常に意識。

3.円
* まず半径と中心に着目。
* 半径が等しいので、二等三角形や合同な図形が隠れていることが多い。

4.正方形
・合同な図形が隠れていることが多いので、見逃さないようにしよう。
●対角線をひいたらどうか？を考えるようにしよう。

〈番外編〉
1.ばらばらの角度の合計は？
●図形が2つあるのに離れた位置に角がある場合は、図形を移動させて2つを組み合わせてみるべし。問題の図を使うのではなく、新たに図をかこう。

2.ヒントが多いのにわからないときは？
●まわりの角度や長さが求められているのに、答えだけがわからないときは、方程式を使うことが多い。いくつか式に表して、方程式で解けないか試そう。

3.立体問題のときは？
●立体図形は、立体の切り口や展開図を使って平面で考えるのがポイント。

[ブクログ · ★★★★☆]

こういう問題を大人になってからじっくり時間を掛けて解くのも良いのかもしれない、と思わせる良問ばかりでした。