結城浩のレビュー一覧

　数学ガール秘密ノートで自分にとっての最後の1冊を読み終わりました。今回は「複素数の広がり」という副題となっています。複素数は高校の数学で習いましたが、「2乗すると-1になる」というそれまでなかった概念が導入されたということは理解していたと思うのですが、それで何が便利になるのか、どういったことに使わ...続きを読むれるのかについては教えてもらえなかったと記憶しています。

　数学ガールでは用途については特に説明されていませんでしたが、複素数を常に図形で表してみたり、実数との違いについて丁寧に説明したり、共役複素数という互いに虚数部分の絶対値が等しい複素数について図形で確かめながら説明がなされ、「嘘」の概念ではなく、実際に図形上確認のできる「実際の」数値的概念であることが理解できるようになっています。
a+biの共役複素数はa-bi
a-biの共役複素数はa+bi

また複素数を三角関数で表現できることも確認した上で、複素数の積は加法定理を介して偏角の和と単位円に対して絶対値をもって図形上表現できることも学びました。

その後、先生からのメッセージで「正五角形を複素数を介して図形上表現」し、テトラちゃんの希望から、その頂点を「実際の複素数」で表すといったことも行いました。

最後に複素数に対して3次元数、4次元数を表現することができるのかどうかを証明していきます。そこではまず3次元数は矛盾があることを証明しました。また4次元数はテトラちゃんの「ベクトルで表現する」というアイディアとその方針では一部の矛盾を内包していることを確認します。しかしそのアイディアを生かして積の交換法則を回避した複素共役を利用した数式の変換で表現できることを仲間と一緒に証明するのです。

　0,1のビットはせいぜいコンピューターが処理するときに使う基本的な仕組みという程度の話で、一体どんな物語をかけるのかなと思いながら読み始めました。

　まずわかりやすい例としてスキャンとプリントの話が出てきて、「F」という文字をスキャンするとき、プリントするとき、ビットのデータを使って行ったり、あ...続きを読むるいはちょうど半分で入れ替えたり、外枠だけをアウトプットしたりということをやりました。この外枠だけをアウトプット、というのが難しく、テトラちゃんは隣り合うビットが1のとき（データ出力するとき）真ん中のデータは0に変換すれば外枠だけが出力されるはず、という規則に気が付きました。おしくも縦の枠だけ出力され、横の枠は出力されませんでしたが、基本的にはこの規則を横の枠にもあてはめればよいのでほぼ正解と言えます。リサとテトラちゃんとユーリだけが登場するこの導入はなんとなく微笑ましい感じでした。

　次に補数表現ということを考え始めました。この2進法では符号も含めて0,1で表記する手法があります。例えば4ビットのデータの例で考えると先頭のビットが1の場合はマイナスであると定義します。符号なしデータとしてとらえると1000は10進数の8ですが、符号ありデータとしてとらえると、1000は10進数の－8になります、以降1001は-7、1010は－6、、、、、1111は－1となります。
　これについて僕は符号なしデータがあらわす10進数の算出が分かりにくいことに気づきます。ユーリはリサに教えてもらったとおり、「全ビットを反転して1を足す」と符号なしデータの10進数の算出ができる、と言います。例えば1000であれば
全ビットを反転：0111
1を足す：1000
8になったので-符号をつけてー8であるとわかる。
このような感じです。

次にリサからもらった謎の式について考えます。この謎の式は本書の後半でも出てくる重要な式となっています。
n & -n
これはビット単位の論理積です。
n -n n & -n
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

nも-nも両方とも1の場合、n & -n が1になるというのが論理積です。

例として
n= 0110の場合 -n=1010となり、n & -n = 0010
（ここでユーリは答えを言いたがりますが僕はゆっくりと例示して考えます、、、）
n=0001の場合、-n=1111となり、n & -n = 0001
これを整理すると、n & -n は4ビット中、1ビットだけが1となる法則があることに気がつきます。
そしてこのnは以下の形で表せることを示します。（ここはなかなか気がつかないと思います、、）
n=2^m*奇数

そしてこのmの値の並びにも規則があるようです・
0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,,,,,（一体どんなルール？★）

次にミルカさんとリサと僕はフリップ・トリップというゲームについて考えます。
4ビットのデータでオセロのように白、黒のパターンを作る。
4つとも白から始める。
1度に1つだけ反転させることができる。
全てのパータンを尽くすとクリア。（フルトリップ）
ただし途中同じパターンを経由するとNG。

これは実際やってみるとなかなか難しかったのですが僕が消去法的に反転を繰り返していくとフルトリップに成功するのですが（ミルカさんは瞬殺、、）どのビットを反転させるかの順番が★に出てきた値の並び通りなのだそうです。

ここでルーラー関数（ρ関数）というものが紹介され、4ビットデータの1があるビットの右側にある並んだ0ビットの数が★と合致することも紹介されます。
さらにハノイの塔の操作順もこの★と合致するというのです。

最後にブール関数というものについて考えます。これはデータ間の順序関係を表すために導入された考え方でした。いくつかあるビットパターンのデータにおいて順序関係がが成り立つにはどのようなルールが成り立っていればよいか。それをやはり4ビットデータを例に考えました。

順序の公理
・反射律：x ≤ x
・反対称律：x ≤ y　かつ y ≤ xならば x = y
・推移律：x ≤ m かつ m ≤ yならば x ≤ y
これが成り立てば、それぞれのビットデータ間で順序関係が成り立つと言える。

今回はミルカさんが僕に優しかった気がしましたが、最後の僕が「どこまでいけるんだろう」といったふとした問いかけにミルカさんが「君が望むなら、どこまでも」と答えたのが印象的でした。

　数学ガールの秘密ノート場合の数の本と並行して読み進めて、確率の冒険も読み終わりました。コインを投げて表・裏のどちらが出るか？というシンプルな試行についてよくよく考えると確率の難しさと面白さがわかってきます。あまり深く考えずにいるときの確率と、「全体は何か」をしっかり把握した状態での確率は全く違うも...続きを読むのであるかのようです。

　条件付き確率を説明した章において全体（全事象）が何かをしっかり把握することの大事さを知った上で、終章で「未完のゲーム」に挑みます。

Ａさん、Ｂさんがコインを繰り返し投げて表が出たらＡさんに1点、裏が出たらＢさんに1点が入ります。先に3点先取したほうが勝ちというルールにおいて、Ａさんが1点、Ｂさんが1点を取得した段階でゲームを中断しました。このとき3点先取したときに得られる報酬があった場合、どのように分け合えばよいと考えられるでしょうか？

（これと似た問題をギャンブラーだったシュヴァリエ・ド・メレが考えたとされており、パスカルに相談したそうです。さらにパスカルはフェルマーに相談したともいわれ、確率の考え方が必要であるという進展につながっていったという経緯があるそうです。）

このシンプルな問いから、確率の奥深い世界にいざなわれます。日常生きている分には、1点ずつ取得しているのだから、報酬は半分ずつでよいだろうと結論づけることになると思います。しかし、これが例えばＡさんが2点取得、Ｂさんが1点取得している場合はどう考えたらよいでしょうか？報酬を2:1でわけることは公平でしょうか？
あるいはＡさんが100点先取、Ｂさんが80点先取で勝ちというルールだった場合はどうでしょうか？様々なルールや状況に応じて何が公平なのか示すことはとても難しくなっていきます。

ここでは少ない回数（2回先取で勝ち、3回先取で勝ち）から試行して、見出すことのできるパターンから一般的なルールを見つけ出します。漸化式を使った考え方でn回試行したときのAさん、Bさんが勝つ確率を見出していくのです。その中で「あと何回表が出たらＡさんが勝つか（逆にあと何回裏が出たらBさんが勝つか）」を関数で表していくことになりますが、漸化式を適用するなかで「あと-1回表が出たらＡさんが勝つ」といった現実的には起こりえない計算式も導かれてしまいます。ここでミルカさん、僕、テトラちゃんは「Ａさんが勝ってもコインを投げ続けること」を「あと-1回表が出たらＡさんが勝つ」ことと同義であることを見事に見出し、式を拡張して漸化式を完成させます。

この物語の面白いところはコインを投げるという現実の試行と数式の導出という論理的な世界における思考をいったりきたりするところにあります。数式は突然導き出せるものではなく、現実世界の試行の結果見出せるものであり、逆に現実世界での限りない回数の試行は論理的な世界における思考や数式によって表現することができるのです。

　場合の数の難しさは今、求めようとする場合の数がどういう条件下において求める必要があるのか、どういう制限が隠れているのか、洗い出すことの困難さにあると思います。今回の数学ガールではテトラちゃんが数人集まった人達が、握手をするときに何パターンあるのかという不思議な問題について考えていた時に、単に握手す...続きを読むるという条件だけではなく、そこにいる人達が交差しながら握手してはいけないという条件下で求めるような問題設定になっていた。3,4人のケースでこれを洗い出す分にはそれほど難しくはないが、6,7人となっていったときにとたんに複雑さが増してしまう。

テトラちゃんと僕は、この交差してはいけないという条件下において、Aさんを軸として考えた場合に、Aさん以外の人たちがどのように握手するパターンがあるかを考えた。その際例えば全体で6人がいた場合に、AさんがBさんと握手すると、残りはC,D,E,Fさん4人による握手パターンを考えればよいのことになるが、これは1人、2人、3人、4人、、、と順に考えてきた場合における、4人の握手パターンをそのまま答えとして適用してよいということです。場合の数においてはこの繰り返しの構造というか、小さいものの答えから大きいものの答えを導き出すような考え方が多く出てくる。式においては漸化式がその考え方に基づいている。

ここでは式が重要なのではなく具体的な問題を考えるときに、たくさんの人がいる場合の握手パターンという事象を正しくとらえることができるかどうかは、人数が少し少ないときのパータンを応用していけるかどうか、部分集合をしっかりと定義しながら答えを算出していけることに気づき、抜け漏れなく整理していけるかどうかにかかっています。なかなか自分だけではこの整理ができないわけですが、数学ガールのような本の考え方に慣れていくと、その考え方に気が付くことができるのだと思います。

　平均、偏差値という言葉について、日本人の多くはその数値が持つ意味を理解していると思います。特に平均についてはその意味は正確に理解しているはずです。一方偏差値については教育の現場で使われていたし、自分のテストに対して「国語のテストの偏差値は60でした。数学のテストの偏差値は65でした。」といったよう...続きを読むにスコアリングされていたので馴染みがあるものだと思います。
　
　しかし偏差値がどのように算出されるか？については数学を基礎から学んだ人しか説明できないでしょう。

　（偏差値）
　偏差値＝50+10×(Xk -μ)/σ
　ただし、平均点=μ, 標準偏差=σ, Xkは本人のテストの点数
　例えば 平均=60、標準偏差＝5、Xk＝70とすると、
　偏差値＝50+10(70-60)/5 = 70
　となります。

　ここで標準偏差=σ（シグマ）という耳慣れない用語があります。これはどのように求められるかというと、
　（標準偏差）
　σ=√V
　ただし、Vは分散。分散の平方根（√）のうち負でないほうを標準偏差とする。

　ここでまた分散=Vという用語が新たに出てきてしまいました。

　（分散）
　V = ((X1-μ)^2 + (X2-μ)^2 + … +(Xn-μ)^2) / n
　ただし、平均点=μ, X1,X2,,,はそれぞれの生徒のテストの点数、nはテストをうけた生徒の総数
　
　分散の意味はそれぞれの生徒のテストの点数が平均とどれだけ乖離しているかをプラス、マイナス両方について考慮できるように各々の差の2乗をとって計算したものであり、今回行われたテストは平均値と比較してどれだけ乖離が大きいか、データの散らばりが大きいかを平均的に表したものになります。
乖離の状況は各々の乖離の状況について2乗した形となっているため、その平方根をとった値が実質的な乖離状況を表しておりそれを「標準偏差」としています。用語が表す意味としては「全部のデータを見たときに、標準（平均点）と比べてどのような偏りの状況にあるか？」と理解するとよいと思います。

　さて偏差値の定義に戻ってその値がとる意味について考えてみると、
　偏差値＝50+10×(Xk -μ)/σ　という式で表されますから、
　自分のテストの点数Xkが平均から離れていればいるほど、50という偏差値の中央値から乖離します。また分散が小さければ小さいほど自分のテストの点数は50という偏差値の中央値から乖離します。
　他の生徒のテストの点数が平均と比べてばらつきがないほうが自分のテストの点数のばらつきが際立って偏差値は50という中央値から外れていくことになります。

　さてこういった統計を考えるにあたって基礎的な用語について計算を通してしっかり理解した上で、コインを何度か投げた時に表、裏が出る確率について考えます。ここでとても面白い考え方が示されます。コインを投げた時に表が出る確率はいくつか？という大変基本的な問題です。コインの裏表に有意な差がなければ、その確率は50%です。しかし、その試行回数が少ないとき（1回）と多いとき（例えば100000回）で違いはあるのでしょうか？違いはありません。しかし期待値を使って導出する式を見ると、また違った意味が現れるのです。ここはぜひこの本を読んでその不思議に触れてほしい部分です。自分は読んでいてぞくぞくしました。

　導出までの説明は省略しますが、
E[Y] = p　
（Yは確率変数、Eは期待値、pはコインの表が出る確率）
V[Y] = p(1-p)/n
（nはコインを投げる回数）
√V[Y] = √p(1-p)/n

さて最後の式は分散の平方根ですから、標準偏差を表しています。nはコインを投げる回数です。分母が大きければ大きいほど標準偏差は小さくなるということが読み取れます。つまりコインを投げる回数が多ければ多いほど標準偏差が小さくなるということです。とても不思議であるとともに、コインを投げる回数が多くなるほどに表、裏が出る回数に偏りが小さくなるというのは経験的にも納得がいくものではないでしょうか。これは「大数の弱法則」と呼ばれるそうです。

　

　前に読んだ数学ガールのニュートン力学の最終章で積分が出てきてわからなくなったため、こちらの数学ガールの秘密ノート積分を見つめて、で積分を先に学ぼうと思い読み始めました。

　自分は高校生のとき微分だけを中途半端に学び、積分は全く学ばなかったので、微分と積分は互いに逆の関係が成り立つ、という程度の知...続きを読む識しかありませんでした。それは間違ってはいないようですが、実際に計算するとなると微分よりも積分のほうがとっつきにくい面があります。この本に出てくるテトラちゃんが躓くところはだいたい自分も躓いていました。

　まず式での表し方として積分ではインテグラル（∫）が登場します。そしてその記号の右側の上下に数字または記号はくっついています。この意味が普通、すっと入ってきません。ある区間の面積を求める際に「下の記号がさす範囲から上の記号がさす範囲」ということが丁寧に説明されていて理解することができました。
　また∫の右側の式では式＋dxという形になっており、これは単に「積分する」という意味であることも丁寧に説明されています。Σとの関係（Σも合計を示すものだから）についても説明されていて面白かったです。

　その式によって何を表すのか、場合によっては式の部分部分が何を意味するのかを理解した上で計算をすることは、自分が何をしようとしているかを整理するためにとても大事であると思います。

　今回は円の面積は無限大に分割した扇形の面積の合計であるという考え方に基づいて、円の面積は積分によってπr二乗によって求められることを証明します。
このとき、三角関数（sin, cos, tan)の考え方も利用する必要ありました。自分はそこは復習しました。

　はさみうちという考え方で円の面積を積分の考え方で導く方法は現実世界の考え方に即していてとてもきれいだと感じました。「対象の円を無限台に分割したとしたら」はさみうちにつかった両側の面積はそれぞれはさみうちされた円の面積の大きさに収束する、というとてもきれいな結果を導くことができます。

このとき極限の公式を使います。θを0に限りなく近づける場合、sinθ/θ=1に収束するというものですが、ここは自分もテトラちゃんと同じように0/0（0除算のエラー）になってしまうのでは？と疑問を持ちました。ただ、図形でsinθ、θそれぞれが表すものを考えると、それは1:1に収束するので、全体として1に収束するというように理解できました。

　微分は瞬間瞬間の状態を表すものですが、積分は瞬間瞬間の合計を無限に細かい単位で集めるときに使うもので、自分の日常生活でもなくてはならない考え方です。ある時間の間における移動距離とか、ランダムな形の面積であるとか、さまざまありますがとてもきれいな方法で計算できるということがわかりました。

数学ガールのニュートン力学という中二心をくすぐる数学と物理の組み合わせにとても期待して読みました。

この本ではユーリと僕が「ボールを投げるとなぜ放物線になるのか」という疑問から、投げたボールは水平方向には等速直線運動、垂直方向には投下速度直線運動をしていることを式で表していく。

ただ、なぜ投げた...続きを読むボールが放物線を描くのかを納得できないユーリに、僕はニュートンの運動方程式を用いてボールの運動を説明することになっていく。ここでは力と加速度の関係を一つの式で表すことができる。
F = ma
というシンプルな式で。（F=力、m=質量、a=加速度）

投げたボールについて水平方向、垂直方向（鉛直下向き方向）に、それぞれかかった力から加速度を、加速度から速度を、速度から位置を時刻で積分することによって求めることができることを知る。

逆に、位置を時刻で微分すると速度を、速度を時刻で微分すると加速度と、加速度を時刻で微分すると力を得ることができる。

力（時刻で積分）→加速度（時刻で積分）→速度（時刻で積分）→位置

力（時刻で微分）←加速度（時刻で微分）←速度（時刻で微分）←位置

さらに質量が大きいと加速度が0に近づいてしまい、質量が大きいものほど落下速度が遅くなってしまうのか？というユーリの疑問を解消するために、ニュートンの万有引力の法則の説明に入っていく。

F = mg
（F=力、m=質量、g=重力加速度）
地球からボールにかかかる重力の大きさはボールの質量に比例する。
このことから、質量が大きいものほど落下速度が遅くなるということはないことがわかる。

一方、テトラと僕の会話では、物理学と数学の境目について話がなされる。物理的な事象を考えているうちに積分の考え方が導入されてしまっていたからだ。

僕は物理的な事象を数式を使って表現する。テトラはニュートンの運動方程式はふたつの世界をつなぐ架け橋のようなものだいうと説明に納得する。

その後、投げ上げたボールが戻ってくる時刻や、投げ上げたボールが戻ってきたときの速度や、投げたボールはどこまで高く上がるか、といったことを計算していく。

次に僕とテトラは力学的エネルギー保存則を使ってこの事象を簡単に表そうと試みる。

力学的エネルギー＝運動エネルギー＋位置エネルギー
1/2mv(2乗）+ mgh

そしてミルカが登場する。ミルカと僕とテトラは力学的エネルギー保存則を、ニュートンの運動方程式と万有引力の法則から数学的に導くことができることを解き明かしていく。

＊この最終章の5章あたりから積分の考え方多様されていて細かく理解できなくなったため、先に積分の学習をもう少ししてからこの本を再読することにしました。

javaについて何も知らない状態で、とりあえずこの本を読むように大学の教授に勧められて手に取ったが、プログラミングって意外と簡単なのでは？と思わせてくれた一冊。

説明は非常に丁寧で、プログラミング特有の小難しい概念もたとえばなしを用いてうまく説明されている。